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Propiedades termodinámicas y uso de las tablas

Para resolver un problema de energía (una turbina, un refrigerador, una caldera) hay que conocer las propiedades del fluido en cada estado: presión, temperatura, volumen, energía interna, entalpía y entropía. Este tema explica cómo se organizan esas propiedades, cómo leer las tablas, cómo interpolar y cuándo vale el modelo de gas ideal.

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Sustancia pura, fases y estado

Una sustancia pura tiene la misma composición química en todas sus partes, aunque esté en varias fases (agua líquida con vapor). Su estado queda fijado por dos propiedades intensivas independientes (postulado de estado). Dentro de la campana de saturación $T$ y $P$ no son independientes: a cada presión le corresponde una temperatura de saturación, así que hace falta otra propiedad, normalmente la calidad $x$ , la fracción de masa que es vapor.

Diagrama T–v (esquemático): a presión constante el líquido se calienta, hierve a T constante dentro de la campana y luego el vapor se sobrecalienta. Por encima del punto crítico no hay cambio de fase.

Las propiedades usuales son el volumen específico $v$ , la energía interna $u$ , la entalpía $h = u + P v$ (la que aparece en los equipos con flujo) y la entropía $s$ . Todas se dan por unidad de masa, y sus valores absolutos dependen de un estado de referencia: lo que tiene sentido físico son sus diferencias.

Tablas de saturación y calidad

La tabla de saturación (por temperatura o por presión) da las propiedades del líquido saturado (subíndice f) y del vapor saturado (g), y su diferencia ( $f g$ ). Una mezcla es una media ponderada por la calidad:

y = y_{f} + x (y_{g} - y_{f}) = y_{f} + x y_{f g} x = \frac{y - y _{f}}{y _{f g}} (y = v, u, h, s)

La segunda fórmula sirve al revés: si se conoce $P$ (o $T$ ) y otra propiedad, con ella se despeja la calidad. Si $x$ sale menor que 0 es líquido comprimido; si sale mayor que 1, vapor sobrecalentado.

Cómo saber en qué región está el estado

Datos	Comparar con	Región
$T$ y $P$	$P_{s a t} (T)$	$P > P_{s a t}$ : líquido comprimido · $P < P_{s a t}$ : vapor sobrecalentado
$T$ (o $P$ ) y $v$ , $u$ , $h$ o $s$	$y_{f}$ y $y_{g}$ a esa $T$ (o $P$ )	$y < y_{f}$ : líquido · $y_{f} \leq y \leq y_{g}$ : mezcla · $y > y_{g}$ : vapor
$T$ o $P$ con $x$	—	Mezcla (con $0 \leq x \leq 1$ )

Vapor sobrecalentado e interpolación

La tabla de vapor sobrecalentado tiene un bloque por presión y una fila por temperatura. Si el dato cae entre dos filas se interpola linealmente; si además la presión cae entre dos bloques, se interpola en cada bloque y luego entre los dos resultados (doble interpolación):

y = y_{1} + \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} (y_{2} - y_{1})

Interpolar supone que la propiedad varía como una recta entre las dos filas. Para $h$ y $s$ el error suele ser pequeño; para $v$ , que va casi como $1/ P$ , puede llegar a varias décimas de por ciento entre bloques de presión separados. El simulador da los dos valores: el interpolado (lo que se hace a mano) y el exacto de la ecuación de estado.

Líquido comprimido

Los líquidos son casi incompresibles: sus propiedades dependen mucho de $T$ y poco de $P$ . Cuando no hay tabla de líquido comprimido se usa la aproximación de líquido saturado a la misma temperatura, con una corrección para $h$ :

v \approx v_{f} (T) u \approx u_{f} (T) s \approx s_{f} (T) h \approx h_{f} (T) + v_{f} (T) [P - P_{s a t} (T)]

Gas ideal

A baja presión y temperatura alta respecto al punto crítico, un gas cumple $P v = RT$ , con $R = R_{u} / M$ ( $R_{u} = 8.314$ kJ/kmol·K). El factor de compresibilidad $Z = P v / RT$ mide cuánto se aparta: cerca de 1, el modelo vale. En un gas ideal $u$ y $h$ solo dependen de $T$ , y la entropía depende de $T$ y $P$ :

h_{2} - h_{1} = \int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{p} d T s_{2} - s_{1} = s^{\circ} (T_{2}) - s^{\circ} (T_{1}) - R ln \frac{P _{2}}{P _{1}}

Las tablas de gas ideal integran $c_{p} (T)$ por uno: dan $h$ , $u$ y $s^{\circ}$ en función de $T$ . Para un proceso isentrópico se usan la presión y el volumen relativos: $P_{2} / P_{1} = P_{r 2} / P_{r 1}$ y $v_{2} / v_{1} = v_{r 2} / v_{r 1}$ . Con $c_{p}$ constante esto se reduce a $T_{2} / T_{1} = (P_{2} / P_{1})^{(k - 1) / k}$ , cómodo pero menos exacto cuando la temperatura cambia mucho.

Los valores de este tema y de la herramienta los calcula Simuveliq con CoolProp 8.0.0 (licencia MIT; Bell et al., Ind. Eng. Chem. Res. 53, 2014), con la ecuación de estado de cada fluido citada en la herramienta (para el agua, IAPWS-95 de Wagner y Pruß, 2002). Pueden diferir en el último decimal de las tablas de un libro, que usan otras referencias o redondeos.

Errores frecuentes

Usar la tabla de vapor sobrecalentado sin comprobar antes la región: con $T$ y $P$ hay que comparar con $P_{s a t} (T)$ .
Interpolar con la calidad fuera de 0–1, o calcular $x$ con $y_{g}$ en lugar de $y_{f g}$ en el denominador.
Mezclar referencias: $h$ de una tabla y $h$ de otra (o de otro programa) pueden tener ceros distintos.
Tratar el vapor de agua o un refrigerante como gas ideal cerca de la saturación: $Z$ se aleja de 1.
Usar temperaturas en °C en $P v = RT$ o en $T_{2} / T_{1}$ : van en kelvin.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Mezcla saturada de agua

Agua a 200 kPa con calidad 0.7. Halla

T

v

u

h

s

Solución

Con $x$ entre 0 y 1 es mezcla, así que $T = T_{s a t} (200 kPa) = 120.21$ °C.
De la tabla de saturación por presión: $v_{f} = 0.0010605$ , $v_{g} = 0.88568$ m³/kg; $u_{f} = 504.49$ , $u_{f g} = 2024.6$ ; $h_{f} = 504.70$ , $h_{f g} = 2201.5$ kJ/kg; $s_{f} = 1.5302$ , $s_{f g} = 5.5967$ kJ/kg·K.
$v = 0.0010605 + 0.7 (0.88568 - 0.0010605) = 0.62030$ m³/kg, $u = 504.49 + 0.7 \cdot 2024.6 = 1921.7$ kJ/kg, $h = 504.70 + 0.7 \cdot 2201.5 = 2045.8$ kJ/kg y $s = 1.5302 + 0.7 \cdot 5.5967 = 5.4479$ kJ/kg·K.

T = 120.21

°C,

v = 0.6203

m³/kg,

u = 1921.7

kJ/kg,

h = 2045.8

kJ/kg,

s = 5.4479

kJ/kg·K.

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Tablas termodinámicas, Calculadora, en Ejemplos, «Cargar un caso» → Agua: mezcla a 200 kPa con x = 0.7.
La tabla compara el valor exacto de la ecuación de estado con el interpolado (aquí se leen directo: diferencias de 10⁻⁴ %), e Interpolación en las tablas, paso a paso escribe las cuatro fórmulas y = yf + x·yfg. «Ver las filas en la tabla» marca la fila de 200 kPa.

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Ejemplo 2Calidad a la salida de una turbina

El vapor sale de una turbina a 10 kPa con

s = 7.0

kJ/kg·K. Halla la región, la calidad, la temperatura y la entalpía.

Solución

A 10 kPa: $s_{f} = 0.6492$ y $s_{g} = 8.1488$ kJ/kg·K. Como $s_{f} < 7.0 < s_{g}$ , es mezcla, a $T_{s a t} = 45.81$ °C.
$x = \frac{s - s _{f}}{s _{f g}} = \frac{7.0 - 0.6492}{7.4996} = 0.8468$ .
$h = h_{f} + x h_{f g} = 191.81 + 0.8468 \cdot 2392.05 = 2217.4$ kJ/kg. Un 15 % del flujo sale como gotas de líquido, lo que en una turbina real erosiona los álabes.

Mezcla saturada a 45.81 °C con

x = 0.8468

h = 2217.4

kJ/kg.

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar un caso» → Agua (salida de turbina: P, s): 10 kPa y s = 7.0 kJ/kg·K → calidad x. La tarjeta de región da la mezcla con x = 0.84682 y el paso a paso despeja la calidad con s y luego calcula v, u y h.

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Ejemplo 3Doble interpolación en vapor sobrecalentado

Halla

v

h

s

del vapor de agua a 1.3 MPa y 350 °C. La tabla tiene bloques de 1.2 y 1.4 MPa.

Solución

Región: $P_{s a t} (350^{\circ} C) = 16529$ kPa y 1300 kPa es menor: vapor sobrecalentado.
Los dos bloques tienen la fila de 350 °C, así que solo falta interpolar en $P$ ; 1.3 MPa está justo a la mitad: $v = (0.234551 + 0.200292) /2 = 0.217422$ m³/kg, $h = (3154.16 + 3150.09) /2 = 3152.13$ kJ/kg y $s = (7.21391 + 7.13788) /2 = 7.17590$ kJ/kg·K.
Comparación con el valor exacto: $h$ coincide (3152.13) y $s$ difiere en 0.02 %, pero $v$ exacto es 0.216104: la interpolación lo sobrestima un 0.6 %, porque $v$ varía casi como $1/ P$ , que no es una recta.

Interpolado:

v = 0.21742

m³/kg,

h = 3152.13

kJ/kg,

s = 7.1759

kJ/kg·K (exacto:

v = 0.21610

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar un caso» → Agua: vapor a 1.3 MPa y 350 °C (doble interpolación). El paso a paso compara P con Psat(T) = 16 529 kPa, lee los bloques de 1.2 y 1.4 MPa y hace la «Interpolación entre los dos bloques de presión»; la tabla de arriba da la diferencia con el exacto de cada propiedad.

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Ejemplo 4Líquido comprimido frente a la aproximación

Agua a 80 °C y 5 MPa. Compara sus propiedades con la aproximación de líquido saturado a 80 °C.

Solución

$P_{s a t} (80^{\circ} C) = 47.414$ kPa y 5000 kPa es mucho mayor: líquido comprimido. La tabla de 5 MPa da $v = 0.00102672$ m³/kg, $u = 333.82$ kJ/kg, $h = 338.96$ kJ/kg y $s = 1.0723$ kJ/kg·K.
Líquido saturado a 80 °C: $v_{f} = 0.0010291$ , $u_{f} = 334.96$ , $h_{f} = 335.01$ , $s_{f} = 1.0756$ . Las diferencias son de 0.2–0.4 % en $v$ , $u$ y $s$ , y de 1.2 % en $h$ .
Con la corrección: $h \approx 335.01 + 0.0010291 (5000 - 47.41) = 340.11$ kJ/kg, a 0.34 % del valor de la tabla. La corrección mejora $h$ porque $P v$ es la parte de la entalpía que sí cambia con la presión.

h = 338.96

kJ/kg (tabla);

h_{f} = 335.01

(−1.2 %) y con la corrección 340.11 (+0.34 %).

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar un caso» → Agua: líquido comprimido a 80 °C y 5 MPa: dice que P es mayor que Psat(T) = 47.414 kPa, «líquido comprimido», y lee el bloque de 5 MPa.
Para la aproximación, cambia Par de propiedades a «T, x (calidad)» con 80 °C y x = 0: da P = 47.4145 kPa, v = 0.00102905, u = 334.964, h = 335.012 y s = 1.07558.

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Ejemplo 5Compresión isentrópica de R-134a

En un refrigerador, el R-134a sale del evaporador como vapor saturado a −10 °C y un compresor ideal (isentrópico) lo lleva a 0.8 MPa. Halla el estado de salida y el trabajo por kilogramo.

Solución

Entrada: vapor saturado a −10 °C, $P = 200.6$ kPa, $h_{1} = h_{g} = 244.52$ kJ/kg y $s_{1} = s_{g} = 0.93774$ kJ/kg·K.
Salida: $P_{2} = 0.8$ MPa y $s_{2} = s_{1}$ . A 0.8 MPa, $s_{g} = 0.91843 < 0.93774$ : vapor sobrecalentado. En el bloque de 0.8 MPa, $s_{2}$ cae entre la fila de saturación (31.33 °C, $h = 267.32$ ) y la de 40 °C ( $s = 0.94801$ , $h = 276.45$ ).
Interpolando en $s$ : $T_{2} = 36.99$ °C y $h_{2} = 273.28$ kJ/kg (exacto: 36.93 °C y 273.25 kJ/kg).
Trabajo del compresor (flujo estacionario, adiabático, sin cambios de energía cinética ni potencial): $w = h_{2} - h_{1} = 273.25 - 244.52 = 28.73$ kJ/kg.

Vapor sobrecalentado a 36.93 °C con

h_{2} = 273.25

kJ/kg;

w = 28.73

kJ/kg.

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar un caso» → R-134a: salida del evaporador (vapor saturado a −10 °C) para el estado 1 (h = 244.521, s = 0.93774), y luego R-134a: salida del compresor (0.8 MPa, s = s₁).
El segundo dice «vapor sobrecalentado» porque s > sg = 0.91843 e interpola en s dentro del bloque de 0.8 MPa (T = 36.989 °C); el exacto es 36.926 °C con h = 273.249.

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Ejemplo 6Compresión isentrópica de aire con Pr

Aire a 300 K se comprime de forma isentrópica con una relación de presiones de 8. Halla la temperatura final y el trabajo, con la tabla de gas ideal y con

c_{p}

constante.

Solución

A 300 K la tabla da $h_{1} = 301.02$ kJ/kg y $P_{r 1} = 1.3882$ .
Isentrópico: $P_{r 2} = 8 P_{r 1} = 11.1056$ . Buscando ese $P_{r}$ en la tabla: $T_{2} = 539.8$ K y $h_{2} = 545.07$ kJ/kg.
Trabajo: $w = h_{2} - h_{1} = 545.07 - 301.02 = 244.05$ kJ/kg.
Con $c_{p}$ constante ( $k = 1.4$ , $c_{p} = 1.005$ ): $T_{2} = 300 \cdot 8^{0.4/1.4} = 543.4$ K y $w = 1.005 (543.4 - 300) = 244.6$ kJ/kg. La temperatura final difiere 3.6 K (1.5 % de la subida) y el trabajo solo 0.2 %, porque $c_{p}$ cambia poco entre 300 y 540 K; a temperaturas de turbina de gas la diferencia crece.

T_{2} = 539.8

w = 244.05

kJ/kg (con

c_{p}

constante: 543.4 K y 244.6 kJ/kg).

Resuélvelo en Simuveliq

En Tablas termodinámicas, fluido «Aire (gas ideal)», Calculadora: con Dato conocido T = 300 K se leen h = 301.017 kJ/kg y Pr = 1.3882.
Cambia la propiedad a Pr con el valor 11.1056 (el botón abre este paso): T = 539.800 K y h = 545.065 kJ/kg, con la interpolación en la tabla de aire al lado.

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