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Ecuaciones diferenciales ordinarias

Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas: describe cómo cambia algo (una temperatura que se enfría, la carga de un condensador, una masa que oscila). Este tema explica las ecuaciones de primer orden separables y lineales, las de segundo orden con coeficientes constantes y las condiciones iniciales.

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Qué es una solución

Una solución de $y^{'} = f (x, y)$ es una función $y (x)$ que la cumple. El orden es el de la derivada más alta. La solución general lleva tantas constantes arbitrarias como el orden ( $C$ , o $C_{1}$ y $C_{2}$ …): es una familia de curvas. Las condiciones iniciales ( $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 0$ …) eligen una curva de la familia: la solución particular.

Geométricamente, $y^{'} = f (x, y)$ da la pendiente en cada punto del plano (el campo de pendientes); una solución es una curva que en cada punto sigue esa pendiente.

Primer orden

Separables: $y^{'} = g (x) h (y)$ . Se separan las variables y se integra cada lado:

\int \frac{d y}{h ( y )} = \int g (x) d x + C

Lineales: $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ . Se multiplica por el factor integrante $μ = e^{\int P d x}$ , que convierte el lado izquierdo en la derivada de un producto: $(μ y)^{'} = μ Q$ , y basta integrar.

y = \frac{1}{μ} (\int μ Q d x + C)

Segundo orden con coeficientes constantes

Para $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ se prueba $y = e^{r x}$ : queda la ecuación característica $a r^{2} + b r + c = 0$ , y sus raíces dan la solución:

Raíces	Solución general	Comportamiento
reales distintas $r_{1}$ , $r_{2}$	$C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$	exponencial, sin oscilar (sobreamortiguado)
doble $r$	$(C_{1} + C_{2} x) e^{r x}$	el caso límite (amortiguamiento crítico)
complejas $α \pm β i$	$e^{αx} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$	oscila con frecuencia $β$ (subamortiguado si $α < 0$ )

Los tres casos con

y (0) = 1

y^{'} (0) = 0

: es lo que pasa con una masa y un resorte con mucho, justo el necesario o poco amortiguamiento.

Si el lado derecho no es 0 (ecuación no homogénea), la solución es $y = y_{h} + y_{p}$ : la de la homogénea más una particular. Por coeficientes indeterminados, $y_{p}$ se prueba con la forma del lado derecho: un polinomio para un polinomio, $A e^{k x}$ para $e^{k x}$ , $A cos k x + B sin k x$ para un seno o un coseno; si esa forma ya está en $y_{h}$ , se multiplica por $x$ .

El simulador multidominio resuelve estas mismas ecuaciones numéricamente cuando vienen de un circuito o de un sistema mecánico o térmico; aquí se obtienen en forma exacta. Cada solución que da la calculadora se sustituye en la ecuación antes de mostrarse.

Errores frecuentes

Olvidar la constante al integrar, o ponerla solo en un lado y luego perderla al despejar.
Usar el factor integrante sin poner antes la ecuación en la forma $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ (el coeficiente de $y^{'}$ debe ser 1).
Aplicar las condiciones iniciales a $y_{h}$ en lugar de a la solución completa $y_{h} + y_{p}$ .
Con una raíz doble, escribir $C_{1} e^{r x} + C_{2} e^{r x}$ (es una sola constante): falta la $x$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Una ecuación separable

Resuelve

y^{'} = x y

Solución

Se separa: $\frac{d y}{y} = x d x$ . Integrando: $ln ∣ y ∣ = \frac{x ^{2}}{2} + K$ .
$∣ y ∣ = e^{K} e^{x^{2} /2}$ ; con $C = \pm e^{K}$ (y $C = 0$ , que también es solución): $y = C e^{x^{2} /2}$ .

y = C e^{x^{2} /2}

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Ecuaciones diferenciales: escribe y'=x y; pulsa Calcular. La Respuesta es $y = C e^{\frac{x ^{2}}{2}}$ .
La calculadora la ve como lineal ( $y^{'} - x y = 0$ ) y usa el factor integrante $e^{- x^{2} /2}$ : el resultado es el mismo.

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Ejemplo 2Lineal de primer orden

Resuelve

y^{'} + 2 y = e^{x}

Solución

$P = 2$ , así que $μ = e^{2 x}$ : $(e^{2 x} y)^{'} = e^{3 x}$ .
$e^{2 x} y = \frac{e ^{3 x}}{3} + C$ → $y = \frac{e ^{x}}{3} + C e^{- 2 x}$ .
Comprobación: $y^{'} + 2 y = \frac{e ^{x}}{3} - 2 C e^{- 2 x} + \frac{2 e ^{x}}{3} + 2 C e^{- 2 x} = e^{x}$ ✓.

y = C e^{- 2 x} + \frac{e ^{x}}{3}

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Ecuaciones diferenciales: escribe y'+2y=e^x; pulsa Calcular. La Respuesta es $y = C e^{- 2 x} + \frac{e ^{x}}{3}$ .
La calculadora usa $y_{h} + y_{p}$ (raíz característica $- 2$ y $y_{p} = A e^{x}$ , con $A = \frac{1}{3}$ ): mismo resultado por otro camino.

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Ejemplo 3Enfriamiento de un café

Un café a 90 °C se deja en una habitación a 20 °C y se enfría según

T^{'} = - 0.1 (T - 20)

, con

t

en minutos. Halla

T (t)

, la temperatura a los 10 min y cuándo llega a 40 °C.

Solución

Es separable (y lineal): $\frac{d T}{T - 20} = - 0.1 d t$ → $ln ∣ T - 20∣ = - 0.1 t + K$ → $T = 20 + C e^{- t /10}$ .
$T (0) = 90$ → $C = 70$ : $T (t) = 20 + 70 e^{- t /10}$ .
$T (10) = 20 + 70/ e = 45.75$ °C. Para $T = 40$ : $70 e^{- t /10} = 20$ → $t = 10 ln 3.5 = 12.53$ min.

T (t) = 20 + 70 e^{- t /10}

; 45.75 °C a los 10 min; 40 °C a los 12.53 min.

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Ecuaciones diferenciales: escribe y'=-0.1(y-20) y, en Condiciones iniciales (opcional), y(0)=90; pulsa Calcular. La Respuesta es $y = 70 e^{- \frac{x}{10}} + 20$ (la calculadora llama $x$ al tiempo e $y$ a la temperatura).

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Ejemplo 4Raíces reales distintas

Resuelve

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0

Solución

Característica: $r^{2} + 3 r + 2 = (r + 1) (r + 2) = 0$ → $r = - 1$ , $r = - 2$ .
$y = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{- 2 x}$ : las dos exponenciales decaen, sin oscilar.

y = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{- 2 x}

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Ecuaciones diferenciales: escribe y''+3y'+2y=0; pulsa Calcular. La Respuesta es $y = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{- 2 x}$ .

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Ejemplo 5Con condiciones iniciales

Resuelve

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0

con

y (0) = 1

y^{'} (0) = 0

Solución

De la general: $y (0) = C_{1} + C_{2} = 1$ y $y^{'} (0) = - C_{1} - 2 C_{2} = 0$ .
Restando: $C_{2} = - 1$ , $C_{1} = 2$ . Es la primera curva de la figura de los tres casos.

y = 2 e^{- x} - e^{- 2 x}

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Ecuaciones diferenciales: escribe y''+3y'+2y=0 y, en Condiciones iniciales (opcional), y(0)=1, y'(0)=0; pulsa Calcular. La Respuesta es $y = 2 e^{- x} - e^{- 2 x}$ .

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Ejemplo 6Raíz doble

Resuelve

y^{''} - 2 y^{'} + y = 0

Solución

$r^{2} - 2 r + 1 = (r - 1)^{2} = 0$ : raíz doble $r = 1$ .
Con una sola exponencial falta una solución independiente: la segunda es $x e^{x}$ . $y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x}$ .

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x}

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Ecuaciones diferenciales: escribe y''-2y'+y=0; pulsa Calcular. La Respuesta es $y = (C_{2} x + C_{1}) e^{x}$ .

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Ejemplo 7Raíces complejas: oscilación

Resuelve

y^{''} + 4 y = 0

(una masa en un resorte sin rozamiento).

Solución

$r^{2} + 4 = 0$ → $r = \pm 2 i$ : $α = 0$ , $β = 2$ .
$y = C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x$ : oscila sin amortiguarse, con frecuencia angular 2 (período $π$ ).

y = C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Ecuaciones diferenciales: escribe y''+4y=0; pulsa Calcular. La Respuesta es $y = C_{1} cos (2 x) + C_{2} sin (2 x)$ .

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Ejemplo 8No homogénea: coeficientes indeterminados

Resuelve

y^{''} + y = sin 2 x

Solución

Homogénea: $r^{2} + 1 = 0$ → $y_{h} = C_{1} cos x + C_{2} sin x$ .
Particular: se prueba $y_{p} = A cos 2 x + B sin 2 x$ ( $sin 2 x$ no está en $y_{h}$ ). $y_{p}^{''} + y_{p} = - 3 A cos 2 x - 3 B sin 2 x = sin 2 x$ → $A = 0$ , $B = - \frac{1}{3}$ .
$y = C_{1} cos x + C_{2} sin x - \frac{sin 2 x}{3}$ .

y = C_{1} cos x + C_{2} sin x - \frac{sin 2 x}{3}

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Ecuaciones diferenciales: escribe y''+y=sin(2x); pulsa Calcular. La Respuesta es $y = C_{1} cos (x) + C_{2} sin (x) - \frac{s i n ( 2 x )}{3}$ .

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