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Integrales: primitivas, áreas y métodos

La integral tiene dos caras: la indefinida es la operación inversa de la derivada (buscar una primitiva) y la definida es un área, la suma de infinitos rectángulos muy finos. El teorema fundamental del cálculo las une. Este tema explica las dos, los métodos de integración (sustitución, por partes, fracciones parciales) y el cálculo de áreas.

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Primitivas e integral indefinida

$F$ es una primitiva de $f$ si $F^{'} = f$ . Si $F$ lo es, también lo es $F + C$ para cualquier constante, porque la derivada de una constante es 0. Por eso $\int f (x) d x = F (x) + C$ . Una primitiva siempre se puede comprobar derivando.

Función	Primitiva	Función	Primitiva
$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$cos x$	$sin x$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$	$sin x$	$- cos x$
$e^{a x}$	$\frac{e ^{a x}}{a}$	$sec^{2} x$	$tan x$
$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$arctan x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arcsin x$

Integral definida y área

Para hallar el área bajo $y = f (x)$ entre $a$ y $b$ se divide el intervalo en $n$ franjas de ancho $Δ x$ y se suman rectángulos: $\sum f (x_{i}) Δ x$ . Al hacer las franjas cada vez más finas, la suma tiende a la integral definida $\int_{a}^{b} f (x) d x$ . Las partes donde $f < 0$ cuentan con signo negativo.

Suma de rectángulos bajo

y = x^{2}

[0, 1]

: con 5 rectángulos da 0.44; con más, se acerca al valor exacto 1/3.

El teorema fundamental del cálculo dice que no hace falta sumar rectángulos: si $F$ es una primitiva de $f$ continua,

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) (regla de Barrow)

El área entre dos curvas es $\int_{a}^{b} (f_{arriba} - f_{abajo}) d x$ , con $a$ y $b$ en los puntos de corte. Si el intervalo es infinito o la función tiene una asíntota dentro, la integral es impropia: se calcula como límite y puede converger o divergir.

Métodos de integración

Método	Cuándo	Idea
Sustitución	aparece una función y (casi) su derivada	$u = g (x)$ , $d u = g^{'} (x) d x$
Por partes	producto de un polinomio con $e^{x}$ , $sin$ , $cos$ ; o $ln$ , $arctan$	$\int u d v = uv - \int v d u$
Fracciones parciales	cociente de polinomios	factorizar el denominador y separar en fracciones simples
Trigonométricas	potencias de $sin$ y $cos$ ; raíces $a^{2} - x^{2}$ …	identidades y sustitución trigonométrica

En «por partes», $u$ se elige como la parte que se simplifica al derivar (un polinomio baja de grado; $ln x$ pasa a $1/ x$ ) y $d v$ como la que se sabe integrar.

No toda función tiene una primitiva escrita con funciones elementales:

\int e^{- x^{2}} d x

no la tiene. En ese caso la calculadora lo dice y calcula la integral definida numéricamente (

\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x \approx 0.74682413

, un ejemplo de la lista). Toda primitiva que muestra se comprueba derivándola antes.

Errores frecuentes

Olvidar la constante $+ C$ en la indefinida.
Usar $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ con $n = - 1$ : $\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣$ .
Al sustituir, cambiar $x$ por $u$ pero no $d x$ por $d u$ (o no cambiar los límites en una definida).
Aplicar Barrow sobre una asíntota: $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}$ no es $- 2$ , diverge.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Integral inmediata

Calcula

\int (3 x^{2} + 2 x) d x

Solución

Término a término con la regla de la potencia: $\int 3 x^{2} d x = 3 \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}$ y $\int 2 x d x = x^{2}$ .
Comprobación: $(x^{3} + x^{2})^{'} = 3 x^{2} + 2 x$ . ✓

x^{3} + x^{2} + C

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Integrar: escribe 3x^2+2x (deja vacíos Desde y Hasta) y pulsa Calcular. La Respuesta es $x^{3} + x^{2} + C$ .

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Ejemplo 2Cambio de variable

Calcula

\int 2 x cos (x^{2}) d x

Solución

Dentro del coseno está $x^{2}$ y fuera su derivada $2 x$ : $u = x^{2}$ , $d u = 2 x d x$ .
$\int cos u d u = sin u + C = sin (x^{2}) + C$ .

sin (x^{2}) + C

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Integrar: escribe 2x cos(x^2) (deja vacíos Desde y Hasta) y pulsa Calcular. La Respuesta es $sin (x^{2}) + C$ .
Los pasos dicen por qué se elige $u$ , despejan $d x$ y deshacen el cambio al final.

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Ejemplo 3Por partes

Calcula

\int x e^{x} d x

Solución

$u = x$ (al derivar se vuelve 1) y $d v = e^{x} d x$ : $d u = d x$ , $v = e^{x}$ .
$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$ .
Comprobación: $(x e^{x} - e^{x})^{'} = e^{x} + x e^{x} - e^{x} = x e^{x}$ . ✓

x e^{x} - e^{x} + C

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Integrar: escribe x e^x (deja vacíos Desde y Hasta) y pulsa Calcular. La Respuesta es $x e^{x} - e^{x} + C$ .

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Ejemplo 4Fracciones parciales

Calcula

\int \frac{d x}{x ^{2} - 1}

Solución

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , así que $\frac{1}{x ^{2} - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ , es decir, $1 = A (x + 1) + B (x - 1)$ .
Con $x = 1$ : $A = \frac{1}{2}$ ; con $x = - 1$ : $B = - \frac{1}{2}$ .
$\int = \frac{1}{2} ln ∣ x - 1∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1∣ + C$ .

\frac{ln ∣ x - 1∣}{2} - \frac{ln ∣ x + 1∣}{2} + C

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Integrar: escribe 1/(x^2-1) (deja vacíos Desde y Hasta) y pulsa Calcular. La Respuesta es $\frac{l n ∣ x - 1∣}{2} - \frac{l n ∣ x + 1∣}{2} + C$ .
Los pasos plantean $A$ y $B$ con letras e igualan coeficientes.

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Ejemplo 5Integral definida (Barrow)

Calcula

\int_{0}^{1} x^{2} d x

, el área de la figura 1.

Solución

Primitiva: $F (x) = \frac{x ^{3}}{3}$ .
$F (1) - F (0) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ . Los 5 rectángulos daban 0.44, por exceso, porque toman la altura en el extremo derecho de cada franja y la función crece.

\frac{1}{3}

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Integrar: escribe x^2, Desde = 0 y Hasta = 1 y pulsa Calcular. La Respuesta es $\frac{1}{3}$ .
La gráfica pequeña sombrea el área bajo la curva.

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Ejemplo 6Área entre dos curvas

Calcula el área encerrada entre

y = x

y = x^{2}

Solución

Cortes: $x = x^{2}$ → $x (x - 1) = 0$ → $x = 0$ y $x = 1$ . En $x = 0.5$ : $0.5 > 0.25$ , así que $y = x$ está arriba.
$A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .

A = \frac{1}{6}

Resuélvelo en Simuveliq

En la operación Calcular escribe area(x, x^2) y pulsa Calcular: la Respuesta es $A = \frac{1}{6}$ ; los pasos hallan los cortes $x = 0$ y $x = 1$ y restan la curva de abajo a la de arriba.

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Ejemplo 7Una integral impropia

Calcula

\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}}

Solución

Primitiva: $arctan x$ . El límite superior es infinito: $lim_{b \to \infty} (arctan b - arctan 0)$ .
$arctan b \to \frac{π}{2}$ , así que la integral converge a $\frac{π}{2} \approx 1.5707963$ : un área infinitamente larga pero finita.

\frac{π}{2} \approx 1.5707963

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Integrar: escribe 1/(1+x^2), Desde = 0 y Hasta = inf y pulsa Calcular. La Respuesta es $\frac{π}{2} \approx 1.5707963$ .

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