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Derivadas y sus aplicaciones

La derivada mide qué tan rápido cambia una función: es la pendiente de la recta tangente a su gráfica y la razón de cambio instantánea. Este tema explica su definición, las reglas para calcularla (producto, cociente, cadena) y sus usos: rectas tangentes, crecimiento, máximos y mínimos y optimización.

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Definición

La pendiente de la recta que une $(x, f (x))$ con $(x + h, f (x + h))$ es el cociente incremental $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ . Al acercar los dos puntos ( $h \to 0$ ), la secante se convierte en la tangente:

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Secantes de

y = x^{2}

por

P = (1, 1)

: al acercar el segundo punto tienden a la tangente, de pendiente

f^{'} (1) = 2

Por ejemplo, para $f (x) = x^{2}$ : $\frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h} = 2 x + h \to 2 x$ . Si $x (t)$ es una posición, $x^{'} (t)$ es la velocidad; si $V$ es un volumen, $d V / d t$ es el caudal. Una función con una esquina (como $∣ x ∣$ en 0) o un salto no es derivable ahí.

Reglas de derivación

Función	Derivada	Función	Derivada
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$sin x$	$cos x$
$e^{x}$	$e^{x}$	$cos x$	$- sin x$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	$tan x$	$sec^{2} x$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$arctan x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$arcsin x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$

La derivada de una suma es la suma de las derivadas y las constantes salen fuera. Para productos, cocientes y funciones compuestas:

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} (f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

La regla de la cadena se lee «derivada de la función de fuera, con lo de dentro sin tocar, por la derivada de lo de dentro». Es la que más se olvida: $(sin x^{2})^{'} = cos x^{2} \cdot 2 x$ , no $cos x^{2}$ .

Aplicaciones

Recta tangente en $x = a$ : $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ . Cerca de $a$ es la mejor aproximación lineal de la función.

Crecimiento. Donde $f^{'} > 0$ la función crece; donde $f^{'} < 0$ , decrece. Los puntos críticos ( $f^{'} = 0$ o $f^{'}$ no existe) son los candidatos a máximo o mínimo local. Se clasifican con el cambio de signo de $f^{'}$ o con la segunda derivada: $f^{''} < 0$ es máximo (curva hacia abajo), $f^{''} > 0$ es mínimo; si $f^{''} = 0$ el criterio no decide.

Optimización. Se escribe la magnitud a maximizar o minimizar en función de una sola variable, se fija su intervalo con sentido físico, se buscan los puntos críticos dentro y se comparan con los extremos del intervalo.

La calculadora deriva por las mismas reglas y explica cada una («es un producto: regla del producto…», «función de fuera, función de dentro…»). Con expresiones largas pone nombres a las partes y deriva cada una por separado, como en la pizarra.

Errores frecuentes

Derivar un producto como producto de derivadas: $(x e^{x})^{'} \neq = 1 \cdot e^{x}$ .
Olvidar la derivada de lo de dentro en la regla de la cadena.
Cambiar el orden en el numerador de la regla del cociente ( $u^{'} v - u v^{'}$ , no $u v^{'} - u^{'} v$ ).
En optimización, quedarse con un punto crítico fuera del intervalo válido o no comparar con los extremos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Regla del producto

Deriva

f (x) = x e^{x}

Solución

Es un producto con $u = x$ y $v = e^{x}$ : $u^{'} = 1$ , $v^{'} = e^{x}$ .
$f^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'} = 1 \cdot e^{x} + x e^{x} = x e^{x} + e^{x} = (x + 1) e^{x}$ .

f^{'} (x) = x e^{x} + e^{x}

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Derivar: escribe x e^x y pulsa Calcular. La Respuesta es $f^{'} (x) = x e^{x} + e^{x}$ .

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Ejemplo 2Regla del cociente

Deriva

f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}

Solución

$u = x + 1$ , $v = x - 1$ , $u^{'} = v^{'} = 1$ .
$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x - 1 ) - ( x + 1 ) \cdot 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}}$ . Siempre es negativa: la función decrece a cada lado de $x = 1$ .

f^{'} (x) = - \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}}

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Derivar: escribe (x+1)/(x-1) y pulsa Calcular. La Respuesta es $- \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}}$ .

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Ejemplo 3Regla de la cadena

Deriva

f (x) = sin (x^{2})

Solución

Función de fuera: el seno; de dentro: $x^{2}$ .
Derivada de fuera con lo de dentro sin tocar: $cos (x^{2})$ . Por la derivada de dentro: $2 x$ .
$f^{'} (x) = 2 x cos (x^{2})$ .

f^{'} (x) = 2 x cos (x^{2})

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Derivar: escribe sin(x^2) y pulsa Calcular. La Respuesta es $2 x cos (x^{2})$ .
La gráfica pequeña dibuja $f$ y $f^{'}$ juntas: donde $f$ tiene un máximo o un mínimo, $f^{'}$ corta el eje.

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Ejemplo 4Recta tangente

Halla la recta tangente a

f (x) = x^{3} - 2 x

x = 1

Solución

$f (1) = 1 - 2 = - 1$ . $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ , así que $f^{'} (1) = 1$ .
$y = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = - 1 + (x - 1) = x - 2$ .

y = x - 2

Resuélvelo en Simuveliq

En la operación Calcular escribe tangente(x^3-2x, 1) y pulsa Calcular: la Respuesta es $y = x - 2$ , con $f (1) = - 1$ y $f^{'} (1) = 1$ en los pasos. El comando está en la Lista de comandos.

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Ejemplo 5Máximos y mínimos

Halla los máximos y mínimos locales de

f (x) = x^{3} - 3 x

y dónde crece o decrece.

Solución

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1) = 0$ → puntos críticos $x = - 1$ y $x = 1$ .
$f^{''} (x) = 6 x$ : $f^{''} (- 1) = - 6 < 0$ → máximo, $f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ ; $f^{''} (1) = 6 > 0$ → mínimo, $f (1) = - 2$ .
Signo de $f^{'}$ : positiva fuera de $[- 1, 1]$ (crece) y negativa dentro (decrece).

Máximo local

(- 1, 2)

y mínimo local

(1, - 2)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Máximos y mínimos: escribe x^3-3x y pulsa Calcular. La Respuesta es «máx. (−1, 2), mín. (1, −2)».

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Ejemplo 6Optimización: la caja de volumen máximo

De una lámina cuadrada de 12 cm de lado se cortan cuadrados iguales de lado

x

en las esquinas y se doblan los bordes para hacer una caja sin tapa. ¿Qué

x

da el mayor volumen?

Solución

La base mide $12 - 2 x$ por lado y la altura es $x$ : $V (x) = x (12 - 2 x)^{2}$ , con $0 < x < 6$ (si no, no hay caja).
$V^{'} (x) = (12 - 2 x)^{2} - 4 x (12 - 2 x) = (12 - 2 x) (12 - 6 x) = 12 x^{2} - 96 x + 144 = 0$ → $x = 2$ o $x = 6$ .
$x = 6$ es el extremo del intervalo (volumen 0). En $x = 2$ : $V^{''} (2) = 24 \cdot 2 - 96 = - 48 < 0$ → máximo, $V (2) = 2 \cdot 8^{2} = 128$ cm³. En los extremos $V = 0$ , así que es el máximo absoluto.

x = 2

cm; volumen máximo

128

cm³ (caja de

8 \times 8 \times 2

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Máximos y mínimos: escribe x(12-2x)^2 y pulsa Calcular. La Respuesta es «máx. (2, 128), mín. (6, 0)».
La calculadora estudia la función en toda la recta real: el mínimo $(6, 0)$ es el borde del intervalo físico, donde la caja desaparece.

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