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Límites y continuidad

El límite describe a qué valor se acerca una función cuando la variable se acerca a un punto, aunque la función no esté definida justo ahí. Es la base de la continuidad, la derivada y la integral. Este tema explica la idea, los límites laterales, cómo resolver las indeterminaciones y los límites en el infinito.

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La idea de límite

Decimos que $lim_{x \to a} f (x) = L$ si los valores de $f (x)$ quedan tan cerca de $L$ como se quiera tomando $x$ suficientemente cerca de $a$ (pero distinto de $a$ ). Lo que pasa en $x = a$ no importa: la función puede no existir ahí o valer otra cosa.

f (x) = (x^{2} - 1) / (x - 1)

coincide con

x + 1

salvo en

x = 1

, donde tiene un hueco. Su límite en 1 es 2.

Los límites laterales miran un solo lado: $x \to a^{-}$ (valores menores que $a$ ) y $x \to a^{+}$ (mayores). El límite existe si y solo si los dos laterales existen y son iguales.

∣ x ∣/ x

vale

- 1

a la izquierda de 0 y

1

a la derecha: los límites laterales no coinciden.

Una función es continua en $a$ si $f (a)$ existe y es igual al límite: $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ . Los polinomios, las exponenciales, el seno y el coseno son continuos en todo punto; los cocientes lo son donde el denominador no se anula; las raíces y los logaritmos, dentro de su dominio.

Cómo se calcula

1. Sustitución directa. Si la función es continua en $a$ , el límite es $f (a)$ . Es lo primero que se prueba.

2. Indeterminaciones. Si la sustitución da una forma como $0/0$ o $\infty/\infty$ , el valor no se puede leer directamente: hay que transformar la expresión.

Forma	Qué se hace
$0/0$ con polinomios,with polynomials	factorizar y cancelar el factor común $(x - a)$
$0/0$ con raíces,with roots	multiplicar por el conjugado
$0/0$ , $\infty/\infty$	regla de L'Hôpital: $lim \frac{f}{g} = lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$
$0 \cdot \infty$	reescribir como cociente $\frac{f}{1/ g}$
$\infty - \infty$	común denominador o conjugado
$1^{\infty}$ , $0^{0}$ , $\infty^{0}$	escribir $f^{g} = e^{g l n f}$ y calcular el límite del exponente

Dos límites notables aparecen una y otra vez:

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1 x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e

sin x / x

no está definida en 0, pero su límite ahí es 1.

3. Límites en el infinito. En un cociente de polinomios dominan los términos de mayor grado: si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales; si manda el numerador, tiende a $\pm \infty$ ; si manda el denominador, a 0. Si $f (x) \to L$ cuando $x \to \infty$ , la recta $y = L$ es una asíntota horizontal; si $f (x) \to \pm \infty$ cuando $x \to a$ , la recta $x = a$ es una asíntota vertical.

Cómo lo hace la calculadora: prueba la sustitución directa comprobando que el valor exacto coincide con el numérico; en las indeterminaciones factoriza, compara grados o aplica L'Hôpital, y en un punto finito calcula siempre los dos límites laterales. Si nada de eso funciona, da una estimación numérica y lo dice.

Errores frecuentes

Decir que $0/0 = 0$ o que $0/0 = 1$ : es una indeterminación, no un número.
Aplicar L'Hôpital sin comprobar que la forma es $0/0$ o $\infty/\infty$ (o derivar el cociente entero en lugar del numerador y el denominador por separado).
Olvidar los límites laterales cuando hay valores absolutos, funciones por tramos o un denominador que cambia de signo.
Pensar que $1^{\infty} = 1$ : $(1 + 1/ x)^{x}$ tiende a $e \approx 2.718$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Factorizar y cancelar

Calcula

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

Solución

Sustituir $x = 1$ da $\frac{0}{0}$ : indeterminación. Como $x = 1$ es raíz del numerador y del denominador, los dos tienen el factor $(x - 1)$ .
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1$ para $x \neq = 1$ (el límite no mira $x = 1$ , así que se puede cancelar).
$x + 1$ es continua: $lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ .

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Límites: escribe (x^2-1)/(x-1), Tiende a = 1 y pulsa Calcular. La Respuesta es 2; los Pasos muestran cada transformación.
Los pasos son los mismos: indeterminación 0/0, factorizar con $(x - 1)$ y cancelar. La gráfica pequeña muestra la recta con el hueco.

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Ejemplo 2Una raíz en el numerador

Calcula

x \to 0 lim \frac{x + 4 - 2}{x}

Solución

En $x = 0$ : $\frac{4 - 2}{0} = \frac{0}{0}$ . Se multiplica arriba y abajo por el conjugado $x + 4 + 2$ :
$\frac{( x + 4 - 2 ) ( x + 4 + 2 )}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{x + 4 - 4}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{1}{x + 4 + 2}$ .
Ahora sí se sustituye: $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ . Con L'Hôpital sale lo mismo: $lim \frac{1/ ( 2 x + 4 )}{1} = \frac{1}{4}$ .

\frac{1}{4}

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Límites: escribe (sqrt(x+4)-2)/x, Tiende a = 0 y pulsa Calcular. La Respuesta es 1/4; los Pasos muestran cada transformación.
La calculadora lo resuelve por L'Hôpital (el segundo camino de la solución) y comprueba los dos límites laterales.

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Ejemplo 3L'Hôpital dos veces

Calcula

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}}

Solución

En $x = 0$ : $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$ . L'Hôpital: $lim \frac{sin x}{2 x}$ , que sigue siendo $\frac{0}{0}$ .
Otra vez L'Hôpital: $lim \frac{cos x}{2} = \frac{1}{2}$ . (O con el límite notable: $\frac{sin x}{2 x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{sin x}{x} \to \frac{1}{2}$ .)

\frac{1}{2}

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Límites: escribe (1-cos(x))/x^2, Tiende a = 0 y pulsa Calcular. La Respuesta es 1/2; los Pasos muestran cada transformación.

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Ejemplo 4Límite en el infinito

Calcula

x \to \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{3 x ^{2} - x}

y di qué asíntota tiene la función.

Solución

Sustituir da $\frac{\infty}{\infty}$ . Se divide arriba y abajo entre la mayor potencia, $x^{2}$ : $\frac{2 + 1/ x ^{2}}{3 - 1/ x}$ .
$1/ x^{2} \to 0$ y $1/ x \to 0$ , así que el límite es $\frac{2}{3}$ : el cociente de los coeficientes principales (mismo grado).
La recta $y = 2/3$ es una asíntota horizontal.

\frac{2}{3}

; asíntota horizontal

y = \frac{2}{3}

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Límites: escribe (2x^2+1)/(3x^2-x), Tiende a = inf y pulsa Calcular. La Respuesta es 2/3; los Pasos muestran cada transformación.

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Ejemplo 5Cuando los laterales no coinciden

¿Existe

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}

Solución

Para $x < 0$ , $∣ x ∣ = - x$ y la función vale $- 1$ : $lim_{x \to 0^{-}} = - 1$ .
Para $x > 0$ , $∣ x ∣ = x$ y vale $1$ : $lim_{x \to 0^{+}} = 1$ .
Los laterales son distintos: el límite no existe (la función da un salto).

No existe: por la izquierda

- 1

, por la derecha

1

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Límites: escribe abs(x)/x, Tiende a = 0 y pulsa Calcular. La Respuesta es «El límite no existe: por la izquierda tiende a -1 y por la derecha a 1»; los Pasos muestran cada transformación.
Con Lado = «Izquierda (−)» (el ejemplo siguiente de la lista) da solo el lateral, $- 1$ .

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Ejemplo 6La forma 1 elevado a infinito

Calcula

x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x}

Solución

La base tiende a 1 y el exponente a $\infty$ : forma $1^{\infty}$ . Se escribe como exponencial: $(1 + \frac{1}{x})^{x} = e^{x l n (1 + 1/ x)}$ .
El exponente es $\infty \cdot 0$ ; como cociente, $\frac{ln ( 1 + 1/ x )}{1/ x}$ es $\frac{0}{0}$ . L'Hôpital: $\frac{\frac{- 1/ x ^{2}}{1 + 1/ x}}{- 1/ x ^{2}} = \frac{1}{1 + 1/ x} \to 1$ .
El límite es $e^{1} = e \approx 2.7182818$ .

e \approx 2.7182818

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Límites: escribe (1+1/x)^x, Tiende a = inf y pulsa Calcular. La Respuesta es $e \approx 2.7182818$ ; los Pasos muestran cada transformación.

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