Aprender › Ingeniería

Cargas eléctricas, campo y ley de Gauss

Las cargas eléctricas se atraen o se repelen a distancia. Para describirlo se usan tres ideas que se encadenan: la fuerza entre cargas (ley de Coulomb), el campo eléctrico que una carga crea a su alrededor y el potencial, que mide la energía por unidad de carga. Para cuerpos con mucha simetría, la ley de Gauss da el campo casi sin cuentas. Las herramientas Cargas eléctricas y Ley de Gauss resuelven ambos casos paso a paso.

Ir al simulador

Ley de Coulomb

Dos cargas puntuales se ejercen fuerzas iguales y opuestas, a lo largo de la recta que las une: de repulsión si tienen el mismo signo y de atracción si lo tienen distinto. Su tamaño es

F = k \frac{∣ q _{1} q _{2} ∣}{r ^{2}} k = \frac{1}{4 π ε _{0}} = 8.988 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}

Con varias cargas vale el principio de superposición: la fuerza sobre una carga es la suma vectorial de las que le hace cada una de las otras por separado. En la práctica: cada fuerza se escribe con su vector unitario $\hat{r}$ (de la carga que empuja hacia la que recibe) y se suman componentes.

Fuerzas sobre

q_{1}

del ejemplo 1: la suma de las dos es la fuerza neta.

Las distancias van en metros: 3 cm son 0.03 m y al cuadrado,

9 \times 1 0^{- 4}

m². Olvidarlo da fuerzas 10 000 veces mayores.

Campo eléctrico

El campo eléctrico en un punto es la fuerza por unidad de carga que sentiría una carga de prueba $q_{0}$ colocada allí: $E = F / q_{0}$ . Existe aunque no haya carga de prueba. El de una carga puntual sale de ella si es positiva y entra si es negativa:

E = k \frac{q}{r ^{2}} \hat{r} E_{P} = i \sum k \frac{q _{i}}{r _{i}^{2}} \hat{r}_{i}

Las líneas de campo lo dibujan: salen de las cargas positivas, llegan a las negativas, nunca se cruzan, y donde están más juntas el campo es más intenso.

Potencial y energía

El potencial $V$ es la energía potencial por unidad de carga. A diferencia del campo, es un escalar: los potenciales de varias cargas se suman con su signo, sin componentes.

V = k \frac{q}{r} U = k \frac{q _{1} q _{2}}{r _{12}} E = - \nabla V

La energía de un sistema de cargas es la suma de $U$ sobre todos los pares. Si es negativa, el conjunto está ligado: hay que hacer trabajo para separarlo. El campo apunta hacia donde el potencial baja más rápido: en un punto puede haber campo con potencial cero (la mediatriz de un dipolo, ejemplo 2).

Distribuciones continuas

Un objeto cargado (una barra, un anillo, un disco) se divide en trozos $d q$ , cada uno una carga puntual, y se suman (integran) sus campos: $d q = λ d l$ , $σ d A$ o $ρ d V$ según sea una línea, una superficie o un volumen. Antes de integrar conviene usar la simetría: las componentes que se cancelan por pares no hace falta calcularlas.

Por ejemplo, para un anillo de radio $R$ y carga $Q$ , en un punto de su eje a una distancia $x$ del centro:

E = \frac{k Q x}{( x ^{2} + R ^{2} ) ^{3/2}} V = \frac{k Q}{x ^{2} + R ^{2}}

Ley de Gauss

El flujo del campo a través de una superficie cerrada solo depende de la carga que encierra:

\oint E \cdot d A = \frac{Q _{enc}}{ε _{0}}

Siempre es cierta, pero solo sirve para calcular $E$ cuando la simetría permite elegir una superficie gaussiana sobre la que $E$ es constante y perpendicular (o paralelo) a la superficie. Entonces la integral es solo $E$ por un área:

Las tres simetrías de la ley de Gauss y su superficie gaussiana.

Distribución	Campo
Carga puntual o esfera, fuera ( $r > R$ )	$E = \frac{k Q}{r ^{2}}$
Esfera aislante maciza, dentro ( $r < R$ )	$E = \frac{k Q r}{R ^{3}}$
Esfera conductora, dentro	$E = 0$
Línea infinita	$E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$
Plano infinito	$E = \frac{σ}{2 ε _{0}}$
Entre dos placas opuestas (capacitor)	$E = \frac{σ}{ε _{0}}$ , cero afuera,zero outside

En un conductor en equilibrio el campo dentro es cero y toda la carga se va a la superficie. Por eso un cascarón metálico apantalla su interior (la jaula de Faraday).

Errores frecuentes

Sumar los tamaños de las fuerzas o de los campos en lugar de sus componentes.
Poner el signo de las cargas en $F = k ∣ q_{1} q_{2} ∣/ r^{2}$ y además en la dirección: el sentido se decide una sola vez (atracción o repulsión).
Tratar el potencial como vector, o sumar potenciales sin su signo.
Usar la ley de Gauss sin simetría (un cubo, una barra finita): la igualdad vale, pero $E$ no sale de la integral.
Tomar toda la carga en vez de la encerrada cuando el punto está dentro de la distribución.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fuerza neta sobre una carga

q_{1} = + 5

µC está en el origen,

q_{2} = - 3

µC en (4, 0) cm y

q_{3} = + 2

µC en (0, 3) cm. Halla la fuerza neta sobre

q_{1}

Solución

$q_{2}$ atrae a $q_{1}$ (signos opuestos), hacia $+ x$ : $F_{2} = 8.988 \times 1 0^{9} \cdot \frac{5 \times 1 0 ^{- 6} \cdot 3 \times 1 0 ^{- 6}}{0.0 4 ^{2}} = 84.26$ N.
$q_{3}$ repele a $q_{1}$ (mismo signo), hacia $- y$ : $F_{3} = 8.988 \times 1 0^{9} \cdot \frac{5 \times 1 0 ^{- 6} \cdot 2 \times 1 0 ^{- 6}}{0.0 3 ^{2}} = 99.86$ N.
Suma: $F = (84.26, - 99.86)$ N, $∣ F ∣ = 84.2 6^{2} + 99.8 6^{2} = 130.7$ N, a $θ = atan2 (- 99.86, 84.26) = - 49.84°$ de $+ x$ .
Comprobación de la tercera ley: las fuerzas netas sobre las tres cargas suman cero.

F_{1} = (84.26, - 99.86)

N: 130.7 N a −49.84°.

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Cargas eléctricas, en Ejemplos, «Cargar configuración» → Tres cargas en triángulo (fuerza neta).
Con Carga a analizar = q1, la «Ley de Coulomb paso a paso» calcula cada fuerza con su vector unitario y la suma vectorial; la tabla Fuerza neta sobre cada carga da 130.7 N a −49.84° y las fuerzas de q2 y q3, que suman cero con la de q1.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 2Campo y potencial de un dipolo

Un dipolo tiene +2 µC en (−3, 0) cm y −2 µC en (3, 0) cm. Halla el campo y el potencial en P = (0, 3) cm.

Solución

Las dos cargas están a $r = 3^{2} + 3^{2} = 4.243$ cm de P, así que sus campos tienen el mismo tamaño: $E_{i} = 8.988 \times 1 0^{9} \cdot \frac{2 \times 1 0 ^{- 6}}{0.0424 3 ^{2}} = 9.986 \times 1 0^{6}$ N/C.
El de la positiva sale de ella: dirección $(1, 1) / 2$ . El de la negativa va hacia ella: $(1, - 1) / 2$ . Las componentes $y$ se cancelan y las $x$ se suman: $E = 2 \cdot 9.986 \times 1 0^{6} \cdot 0.7071 = 1.412 \times 1 0^{7}$ N/C, hacia $+ x$ .
Potencial: $V = k \frac{( + 2 μ C )}{r} + k \frac{( - 2 μ C )}{r} = 0$ . En toda la mediatriz del dipolo el potencial es cero, aunque el campo no lo sea.

E_{P} = (1.412 \times 1 0^{7}, 0)

N/C y

V_{P} = 0

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar configuración» → Dipolo (+ y −): ya trae el punto P en (0, 3) cm.
La tarjeta Campo en P da 14.12 MN/C y V = 0 V; el bloque «Campo eléctrico y potencial en el punto P» tabula el aporte de cada carga, (7.061·10⁶, ±7.061·10⁶), y su suma. Arrastra P por la mediatriz y mira que V sigue en 0.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 3Anillo cargado: integración directa

Un anillo de radio 10 cm tiene una carga de 5 nC repartida uniformemente. Halla el campo y el potencial en su eje, a 7 cm del centro.

Solución

Todos los trozos $d q$ están a la misma distancia del punto, $r = 0.0 7^{2} + 0. 1^{2} = 0.1221$ m.
Por simetría, las componentes perpendiculares al eje se cancelan por pares; queda $d E_{x} = k d q x / r^{3}$ , y como $x$ y $r$ no cambian, la integral es solo $\int d q = Q$ .
$E = \frac{8.988 \times 1 0 ^{9} \cdot 5 \times 1 0 ^{- 9} \cdot 0.07}{0.122 1 ^{3}} = 1.73$ kN/C y $V = \frac{k Q}{r} = 368.1$ V.
Curiosidad: el campo es nulo en el centro y máximo en $x = R / 2 = 7.07$ cm, justo al lado del punto pedido.

E = 1.73

kN/C a lo largo del eje y

V = 368.1

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Ley de Gauss, Distribución de carga → «Anillo · punto sobre su eje», con Q = 5n, R = 10 y x = 7 cm (el botón los pone).
Las tarjetas dan Campo eléctrico en P 1.73 kN/C y Potencial en P 368.1 V; el «Paso a paso» explica la simetría y compara con una integración numérica. Mueve el deslizador de x para recorrer la gráfica de E.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 4Esfera aislante maciza: ley de Gauss

Una esfera aislante de radio 10 cm tiene 5 nC repartidos uniformemente en su volumen. Halla el campo a 6 cm del centro (dentro) y a 20 cm (fuera).

Solución

Superficie gaussiana: una esfera concéntrica de radio $r$ . Por simetría $E$ es radial y constante sobre ella: $\oint E \cdot d A = E \cdot 4 π r^{2}$ .
Dentro, solo cuenta la carga encerrada: $Q_{enc} = Q (r / R)^{3} = 5 \cdot 0. 6^{3} = 1.08$ nC, así que $E = \frac{k Q _{enc}}{r ^{2}} = \frac{k Q r}{R ^{3}} = 2.696$ kN/C.
Fuera, encierra toda la carga y se comporta como una carga puntual: $E = \frac{k Q}{r ^{2}} = \frac{44.94}{0.04} = 1.123$ kN/C.
El campo crece linealmente hasta la superficie ( $E_{m \overset{a}{ˊ} x} = k Q / R^{2} = 4.494$ kN/C) y luego cae como $1/ r^{2}$ .

E (6 cm) = 2.696

kN/C y

E (20 cm) = 1.123

kN/C.

Resuélvelo en Simuveliq

Distribución de carga → «Esfera aislante maciza (carga uniforme)», Q = 5n, R = 10, r = 6 cm (el botón los pone). La tarjeta Campo eléctrico en P da 2.696 kN/C, y el «Paso a paso» muestra la superficie gaussiana, la carga encerrada (1.08 nC) y el despeje.
Cambia r a 20 cm: el campo pasa a 1.123 kN/C y el paso a paso usa toda la carga. La gráfica de E contra r tiene el pico en R.

Abrir en el simulador →

Temas relacionados

Circuitos eléctricos de corriente directaLey de Ohm, leyes de Kirchhoff, serie y paralelo, transformación Δ–Y, superposición, análisis nodal, Thévenin y transitorios RC y RL.

← Todos los temas Ir al simulador