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Circuitos eléctricos de corriente directa

Un circuito eléctrico es un camino cerrado por el que circula carga: una fuente empuja la corriente y los elementos (resistencias, capacitores, bobinas, diodos) la reparten. Resolverlo es hallar el voltaje y la corriente de cada elemento. Con dos leyes (la de Ohm y las de Kirchhoff) y unas pocas técnicas para ahorrar cuentas se resuelve cualquier circuito de corriente directa: es lo que hace, paso a paso, la herramienta Circuitos eléctricos.

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Voltaje, corriente, ley de Ohm y potencia

El voltaje $V$ (en voltios) es la diferencia de potencial entre dos puntos, la «presión» que mueve las cargas; la corriente $I$ (en amperios) es la carga que pasa por segundo. En una resistencia los dos son proporcionales:

V = R I P = V I = I^{2} R = \frac{V ^{2}}{R}

La potencia $P$ es la energía por segundo: una fuente la entrega cuando la corriente sale por su borne positivo, y una resistencia siempre la consume (se calienta). En un circuito bien resuelto, lo entregado y lo consumido coinciden.

Elemento	Relación	En corriente directa, ya estable
Resistencia	$V = R I$	consume $I^{2} R$
Capacitor	$I = C \frac{d V}{d t}$ , $Q = C V$	circuito abierto (no pasa corriente); guarda $\frac{1}{2} C V^{2}$
Bobina	$V = L \frac{d I}{d t}$	cortocircuito (0 V); guarda $\frac{1}{2} L I^{2}$
Batería real	$V = ε - r I$	el voltaje en bornes baja con la corriente

Leyes de Kirchhoff

Ley de corrientes (nodos): en cada nodo, la suma de las corrientes que entran es igual a la de las que salen, $\sum I = 0$ . Es la conservación de la carga.
Ley de voltajes (mallas): al recorrer cualquier camino cerrado, la suma de subidas y bajadas de voltaje es cero, $\sum V = 0$ . Es la conservación de la energía.

Un nodo es todo lo que está unido por cables sin elementos de por medio: aunque en el dibujo haya varios puntos, si los une un cable son el mismo nodo. El simulador los nombra a, b, c… en su primer paso.

Serie y paralelo

Dos elementos están en serie si entre ellos hay un nodo al que no llega nada más: los recorre la misma corriente. Están en paralelo si van entre los mismos dos nodos: tienen el mismo voltaje.

	Serie	Paralelo
Resistencias	$R_{e q} = R_{1} + R_{2} + \dots$	$\frac{1}{R _{e q}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} + \dots$ (dos: $\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ ),(two: $\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ )
Capacitores	$\frac{1}{C _{e q}} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}} + \dots$	$C_{e q} = C_{1} + C_{2} + \dots$
Divisor	de voltaje: $V_{1} = V \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$	de corriente: $I_{1} = I \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$

El método es reducir el circuito, paso a paso, hasta una sola resistencia equivalente, hallar la corriente total con la ley de Ohm y luego deshacer la reducción repartiendo voltajes (en serie) y corrientes (en paralelo).

Cuando no hay serie ni paralelo: Δ–Y

En un puente (cinco resistencias en forma de rombo con una diagonal) ningún par está en serie ni en paralelo. Se resuelve cambiando tres resistencias en triángulo (Δ) por tres en estrella (Y) que se comportan igual vistas desde los tres nodos:

Un triángulo y su estrella equivalente entre los mismos nodos a, b y c.

R_{a} = \frac{R _{ab} R _{a c}}{R _{ab} + R _{b c} + R _{a c}} R_{b} = \frac{R _{ab} R _{b c}}{R _{ab} + R _{b c} + R _{a c}} R_{c} = \frac{R _{a c} R _{b c}}{R _{ab} + R _{b c} + R _{a c}}

Cada resistencia de la estrella es el producto de las dos del triángulo que llegan a su nodo, entre la suma de las tres. Si el puente está equilibrado (

R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}

), por la diagonal no pasa corriente y se puede quitar.

Varias fuentes: superposición y análisis nodal

Con más de una fuente ya no se puede reducir todo a un equivalente. Dos caminos:

Superposición (circuitos lineales): se deja una fuente encendida y se apagan las demás, una batería se cambia por un cable y una fuente de corriente por un circuito abierto. Se resuelve cada caso y se suman los resultados.
Análisis nodal: se elige un nodo de referencia (0 V), se escribe la ley de corrientes en cada nodo con las corrientes expresadas por sus voltajes, $I = (V_{a} - V_{b}) / R$ , y se resuelve el sistema. Es el método que usan los programas de simulación.

Equivalente de Thévenin y transitorios RC y RL

Visto desde dos terminales, cualquier circuito lineal se comporta como una fuente $V_{t h}$ en serie con una resistencia $R_{t h}$ : $V_{t h}$ es el voltaje entre los terminales en circuito abierto y $R_{t h}$ la resistencia entre ellos con las fuentes apagadas. Es la forma rápida de estudiar un capacitor o una bobina conectados a una red.

x (t) = x (\infty) + [x (0) - x (\infty)] e^{- t / τ} τ_{RC} = R_{t h} C τ_{R L} = \frac{L}{R _{t h}}

$x$ es el voltaje del capacitor o la corriente de la bobina, las magnitudes que no pueden saltar. En $t = τ$ se recorre el 63.2 % del camino, y tras unos $5 τ$ se considera terminado (99.3 %).

Carga del capacitor del ejemplo 4.

Errores frecuentes

Llamar «en serie» a dos elementos seguidos cuando en el nodo que los une llega una tercera rama.
Apagar una fuente de corriente con un cable (se apaga con un circuito abierto) o una batería con un circuito abierto (se apaga con un cable).
Sumar potencias en superposición: solo se suman corrientes y voltajes; la potencia se calcula al final.
Usar la resistencia total del circuito como $R_{t h}$ de un capacitor: es la que ve el capacitor desde sus terminales, con las fuentes apagadas.
Perder los prefijos: 1 kΩ · 100 µF = 0.1 s, no 100 s.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Serie–paralelo

Una batería de 24 V alimenta

R_{1} = 4

Ω en serie con un paralelo formado por

R_{2} = 12

Ω y la rama

R_{3} + R_{4}

(

2 + 4

Ω). Halla la resistencia equivalente, la corriente y el voltaje de cada resistencia y la potencia.

Solución

$R_{3}$ y $R_{4}$ en serie: $6$ Ω. En paralelo con $R_{2}$ : $\frac{12 \cdot 6}{12 + 6} = 4$ Ω. En serie con $R_{1}$ : $R_{e q} = 8$ Ω.
$I = 24/8 = 3$ A, que pasa entera por $R_{1}$ : $V_{1} = 12$ V. Quedan $24 - 12 = 12$ V para el paralelo.
$I_{2} = 12/12 = 1$ A y la rama $R_{3} + R_{4}$ lleva $12/6 = 2$ A: $V_{3} = 4$ V, $V_{4} = 8$ V. Comprobación en el nodo b: $3 = 1 + 2$ ✓.
Potencia: la batería entrega $24 \cdot 3 = 72$ W; las resistencias consumen $36 + 12 + 8 + 16 = 72$ W ✓.

R_{e q} = 8

Ω,

I = 3

V_{1} = 12

V_{2} = 12

V_{3} = 4

V_{4} = 8

P = 72

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Circuitos eléctricos, en Ejemplos, «Cargar circuito» → Serie–paralelo (clásico).
Las tarjetas dan Resistencia equivalente 8 Ω, Corriente total 3 A y Potencia 72 W. La «Reducción paso a paso» se recorre con ▶ y muestra cada serie y paralelo dibujados; debajo, «Regreso al circuito original» reparte voltajes y corrientes.
La tabla Valores en cada elemento trae V, I y P de cada uno, con el balance de potencias.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 2Puente de Wheatstone con Δ–Y

Una fuente de 10 V alimenta un puente con

R_{1} = 10

R_{2} = 20

R_{3} = 30

R_{4} = 40

Ω y la diagonal

R_{5} = 50

Ω. Halla la resistencia equivalente y la corriente en la diagonal.

Solución

No está equilibrado: $R_{1} R_{4} = 400 \neq = R_{2} R_{3} = 600$ . Ningún par está en serie ni en paralelo.
El triángulo $R_{1}, R_{5}, R_{3}$ (nodos a, b, c; suma 90 Ω) pasa a estrella: $\frac{10 \cdot 30}{90} = 3.333$ Ω hacia a, $\frac{10 \cdot 50}{90} = 5.556$ Ω hacia b y $\frac{50 \cdot 30}{90} = 16.67$ Ω hacia c.
Ahora sí: $20 + 5.556 = 25.56$ Ω y $40 + 16.67 = 56.67$ Ω en paralelo dan $17.61$ Ω; más $3.333$ : $R_{e q} = 20.95$ Ω e $I = 10/20.95 = 477.4$ mA.
De vuelta: $V_{b} = 6.581$ V y $V_{c} = 5.935$ V (respecto de d), así que por la diagonal pasan $\frac{6.581 - 5.935}{50} = 12.9$ mA de b a c.

R_{e q} = 20.95

Ω,

I = 477.4

mA e

I_{5} = 12.9

mA.

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar circuito» → Puente de Wheatstone (Δ–Y). El paso 1 de la reducción es «Triángulo → estrella (Δ → Y)», con las tres fórmulas; la tarjeta Resistencia equivalente da 20.95 Ω.
El paso «Se regresa del Y al Δ» halla las corrientes reales con los potenciales de los nodos. Cambia $R_{5}$ o $R_{4}$ hasta que $R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$ y mira cómo la corriente de la diagonal se anula.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 3Dos baterías: nodal y superposición

V_{1} = 12

V con

R_{1} = 4

Ω y

V_{2} = 6

V con

R_{2} = 2

Ω alimentan el nodo a, unido a tierra por

R_{3} = 6

Ω (los positivos de las dos baterías van hacia arriba). Halla el voltaje del nodo a y la corriente de cada batería.

Solución

Nodal, con la parte de abajo a 0 V: $\frac{12 - V _{a}}{4} = \frac{V _{a}}{6} + \frac{V _{a} - 6}{2}$ . Multiplicando por 12: $36 - 3 V_{a} = 2 V_{a} + 6 V_{a} - 36$ , así que $V_{a} = 72/11 = 6.545$ V.
$I_{1} = (12 - 6.545) /4 = 1.364$ A (sale de $V_{1}$ : entrega 16.36 W). Por $R_{2}$ , $(6.545 - 6) /2 = 0.2727$ A entran por el positivo de $V_{2}$ : la carga, absorbe 1.636 W.
Por superposición: solo $V_{1}$ ( $R_{e q} = 4 + 6 ∥ 2 = 5.5$ Ω) da 2.182 A por $R_{1}$ ; solo $V_{2}$ ( $R_{e q} = 2 + 4 ∥ 6 = 4.4$ Ω) da 1.364 A, de los que 0.818 A pasan por $R_{1}$ en sentido contrario. Total: $2.182 - 0.818 = 1.364$ A ✓.

V_{a} = 6.545

V_{1}

entrega 1.364 A y

V_{2}

absorbe 0.2727 A.

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar circuito» → Dos baterías (superposición). En Método de solución elige Superposición para ver cada fuente por separado («Caso: solo V1», «Caso: solo V2») o Nodal para el sistema de ecuaciones.
Las tarjetas de las fuentes dicen que V1 entrega 16.36 W con 1.364 A y que V2 absorbe 1.636 W; el dibujo marca 6.55 V en R3.

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Ejemplo 4Carga de un capacitor (RC)

Una batería de 10 V,

R_{1} = 1

kΩ en serie y

R_{2} = 1

kΩ en paralelo con un capacitor de 100 µF inicialmente descargado. Halla el voltaje final del capacitor, la constante de tiempo y

v_{C} (t)

Solución

Al final el capacitor es un circuito abierto: queda un divisor de 1 k y 1 k, y $v_{C} (\infty) = V_{t h} = 5$ V.
Resistencia vista desde el capacitor, con la batería cambiada por un cable: $R_{1} ∥ R_{2} = 500$ Ω.
$τ = 500 \cdot 100 \times 1 0^{- 6} = 50$ ms, y como parte descargado: $v_{C} (t) = 5 (1 - e^{- t /50 ms})$ V. A los 50 ms vale 3.16 V; a los 250 ms, 4.97 V.
Corriente inicial del capacitor: $V_{t h} / R_{t h} = 10$ mA, que cae con la misma constante de tiempo. Energía final: $\frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot 5^{2} = 1.25$ mJ.

v_{C} (\infty) = 5

τ = 50

ms y

v_{C} (t) = 5 (1 - e^{- t /50 ms})

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar circuito» → Circuito RC: carga del capacitor.
El bloque «Carga del capacitor C1 (transitorio RC)» dibuja la curva y escribe los cuatro pasos: voltaje final 5 V, $R_{t h} = 500$ Ω (con su propia reducción paso a paso), $τ = 50$ ms y la respuesta. La tabla da Q = 500 µC y U = 1.25 mJ.

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