Círculo de Mohr y transformación de esfuerzos

En un punto de un sólido los esfuerzos dependen de la orientación del plano por el que se mire: el mismo estado puede verse como tensión pura en una dirección y como cortante en otra. Transformar esfuerzos es calcular cómo cambian al girar el elemento, y el círculo de Mohr es la forma gráfica de hacerlo. Con él se encuentran los esfuerzos principales y el cortante máximo, que son los que se comparan con la resistencia del material.

Esfuerzo plano y convenio de signos

En una placa delgada, en la superficie de una pieza o en una viga, los esfuerzos sobre la cara perpendicular a $z$ son nulos (${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$). Quedan tres componentes en el plano $x$–$y$: ${\sigma }_x$, ${\sigma }_y$ y ${\tau }_{xy}$. Se dibujan sobre un elemento cuadrado muy pequeño alrededor del punto.

Ecuaciones de transformación

Si el elemento gira un ángulo $\theta$ (antihorario positivo), el equilibrio de una cuña cortada a ese ángulo da los esfuerzos en los nuevos ejes $x^{\prime }$–$y^{\prime }$:

Dos detalles importan: aparece siempre el ángulo doble $2\theta$, y la suma ${\sigma }_{x^{\prime }}+{\sigma }_{y^{\prime }}={\sigma }_x+{\sigma }_y$ no cambia al girar (es un invariante). Esa suma es la comprobación más rápida de un cálculo.

Esfuerzos principales y cortante máximo

Al girar el elemento, ${\sigma }_{x^{\prime }}$ pasa por un máximo y un mínimo: los esfuerzos principales ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2$. En esos planos, los planos principales, el cortante es cero. Derivando ${\sigma }_{x^{\prime }}$ e igualando a cero:

La tangente da dos ángulos separados 90°, uno para cada esfuerzo principal. Para saber cuál es cuál, sustituye uno en la ecuación de ${\sigma }_{x^{\prime }}$ (o usa el círculo, que lo dice sin cuentas).

El cortante máximo en el plano vale ${\tau }_{\text{maˊx}}=R$ y actúa en planos a 45° de los principales, donde el esfuerzo normal no es cero sino el promedio $C$.

El círculo de Mohr

Las ecuaciones de transformación son las ecuaciones paramétricas de un círculo en el plano $(\sigma ,\tau )$, de centro $C$ y radio $R$. Cada punto del círculo es el estado de una cara del elemento. Para construirlo (con el convenio del simulador):

• Ejes: $\sigma$ horizontal (positivo a la derecha) y $\tau$ vertical, positivo hacia abajo.
• Marca el centro $C=({\sigma }_x+{\sigma }_y)/2$ sobre el eje $\sigma$.
• Marca $X=({\sigma }_x,{\tau }_{xy})$, la cara $x$, y traza el círculo que pasa por $X$ con centro $C$. El punto $Y=({\sigma }_y,-{\tau }_{xy})$ queda en el extremo opuesto del diámetro.
• Los cortes con el eje $\sigma$ son ${\sigma }_1$ y ${\sigma }_2$; los puntos más alto y más bajo, $\pm {\tau }_{\text{maˊx}}$.
• Girar el elemento $\theta$ equivale a girar $2\theta$ en el círculo, en el mismo sentido: el ángulo de $X$ a ${\sigma }_1$ es $2{\theta }_p$.

Cortante máximo absoluto (tres círculos)

Aunque el estado sea plano, el elemento es un cubo: el tercer esfuerzo principal es ${\sigma }_3={\sigma }_z=0$. Con los tres esfuerzos principales se dibujan tres círculos, uno por cada par, y el cortante máximo absoluto es el radio del mayor:

Si ${\sigma }_1$ y ${\sigma }_2$ tienen signos opuestos, el mayor círculo es el del plano y no cambia nada. Si tienen el mismo signo (un recipiente a presión, por ejemplo), el cortante máximo actúa fuera del plano y es mayor que $R$: olvidarlo deja el cálculo del lado inseguro con el criterio de Tresca.

Errores frecuentes

• Girar $\theta$ en el círculo en lugar de $2\theta$.
• Marcar $Y=({\sigma }_y,{\tau }_{xy})$: el signo del cortante cambia entre las dos caras.
• Tomar cualquiera de las dos soluciones de $\tan 2{\theta }_p$ como la de ${\sigma }_1$ sin comprobar.
• Suponer que en los planos de cortante máximo el esfuerzo normal es cero: vale $C$.
• Olvidar ${\sigma }_3=0$ cuando ${\sigma }_1$ y ${\sigma }_2$ tienen el mismo signo.

Ejemplos resueltos

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