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Esfuerzos en vigas y criterios de falla

Las reacciones y los diagramas dicen qué fuerzas internas hay en cada sección; este tema responde la pregunta que falta: ¿aguanta el material? Para eso se pasa de las fuerzas ( $N$ , $V$ , $M$ ) a los esfuerzos en cada punto de la sección, se combinan en un esfuerzo equivalente con un criterio de falla y se comparan con la resistencia del material. Es lo que hacen la pestaña Análisis (factor de seguridad) y la pestaña Diseño (medida necesaria) del simulador de vigas.

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Esfuerzos en la sección

El momento flector estira las fibras de un lado del eje neutro y acorta las del otro, y la deformación crece en línea recta con la distancia $y$ al eje neutro. Con un material elástico, el esfuerzo normal también es lineal; si además hay una fuerza axial $N$ , se suma uniformemente:

σ (y) = \frac{N}{A} - \frac{M y}{I} σ_{m \overset{a}{ˊ} x} = \frac{∣ M ∣ c}{I} = \frac{∣ M ∣}{S}

$y$ se mide hacia arriba desde el eje neutro, que pasa por el centroide; $c$ es la distancia a la fibra más alejada e $I$ el momento de inercia respecto del eje neutro. Con el convenio del simulador ( $M$ positivo tracciona la fibra inferior), el signo menos hace que con $M > 0$ arriba haya compresión y abajo tensión.

La fuerza cortante produce esfuerzos cortantes que no se reparten de forma uniforme: son nulos en las fibras extremas (una superficie libre no tiene cortante) y máximos en el eje neutro. Se calculan con la fórmula del cortante,

τ = \frac{V Q}{I t}

donde $Q$ es el primer momento del área que queda por encima (o por debajo) del punto respecto del eje neutro y $t$ el ancho de la sección en ese punto.

Sección rectangular con

M > 0

: el esfuerzo normal es lineal y el cortante parabólico.

Sección	$I$	$S = I / c$	$τ_{m \overset{a}{ˊ} x}$ (en el eje neutro)
Rectangular $b \times h$	$\frac{b h ^{3}}{12}$	$\frac{b h ^{2}}{6}$	$\frac{3 V}{2 A}$
Circular de diámetro $d$	$\frac{π d ^{4}}{64}$	$\frac{π d ^{3}}{32}$	$\frac{4 V}{3 A}$
Perfil I	de las tablas del perfil	de las tablas	$\approx \frac{V}{h _{w} t _{w}}$ (el alma lleva casi todo el cortante)

El módulo de sección

S

resume en un número cuánto resiste a flexión una forma: por eso los perfiles I ponen el material lejos del eje neutro. Con la misma área, una sección más alta tiene un

S

mucho mayor (crece con

h^{2}

Estado plano de esfuerzos y esfuerzos principales

En cada punto de la viga actúan a la vez un esfuerzo normal $σ$ (a lo largo del eje) y un cortante $τ$ . Es un estado plano de esfuerzos con $σ_{y} = 0$ , y girando el elemento se encuentran dos direcciones sin cortante, con los esfuerzos principales:

σ_{1, 2} = \frac{σ}{2} \pm (\frac{σ}{2})^{2} + τ^{2} τ_{m \overset{a}{ˊ} x} = (\frac{σ}{2})^{2} + τ^{2}

Como $σ_{y} = 0$ , en una viga siempre $σ_{1} \geq 0 \geq σ_{2}$ : hay una tensión y una compresión principales. El círculo de Mohr (herramienta Círculo de Mohr) dibuja exactamente este cálculo.

No hace falta revisar todos los puntos. En la sección crítica bastan dos: la fibra extrema (A), con el mayor $σ$ y cortante nulo, y el eje neutro (B), con el mayor $τ$ y solo el $σ = N / A$ de la fuerza axial. En perfiles I conviene mirar también la unión del ala con el alma, donde $σ$ y $τ$ son grandes a la vez.

Elementos de esfuerzo en los dos puntos que se revisan.

Criterios para materiales dúctiles

Un material dúctil (acero, aluminio) falla cuando fluye: se deforma permanentemente. El ensayo de tensión da la fluencia $S_{y}$ con un solo esfuerzo; para un estado combinado hace falta un criterio que diga qué combinación de $σ$ y $τ$ equivale a ese ensayo:

von Mises (energía de distorsión): $σ_{v m} = σ_{1}^{2} - σ_{1} σ_{2} + σ_{2}^{2} = σ^{2} + 3 τ^{2}$ . Es el que mejor reproduce los ensayos.
Tresca (cortante máximo): $σ_{T} = σ_{1} - σ_{2} = σ^{2} + 4 τ^{2}$ . Siempre da un esfuerzo igual o mayor, así que es más conservador.

FS = \frac{S _{y}}{σ _{eq}}

Los dos coinciden cuando solo hay $σ$ (la fibra extrema) y difieren más con cortante puro: von Mises predice fluencia con $τ = S_{y} / 3 \approx 0.577 S_{y}$ y Tresca con $τ = 0.5 S_{y}$ , un 15 % menos. En la figura, la elipse de von Mises encierra el hexágono de Tresca y lo toca en sus seis vértices.

Criterios para materiales frágiles

Un material frágil (hierro fundido, cerámicos, concreto) no fluye: se rompe. Además resiste mucho más a compresión ( $S_{u c}$ ) que a tensión ( $S_{u t}$ ), así que no basta un solo número. Con los esfuerzos principales ordenados, $σ_{A} \geq σ_{B}$ (en una viga, $σ_{A} \geq 0 \geq σ_{B}$ ), los criterios usuales son:

Criterio	Factor de seguridad $n$	Comentario
Esfuerzo normal máximo	$n = min (\frac{S _{u t}}{σ _{A}}, \frac{S _{u c}}{∣ σ _{B} ∣})$	el más simple; puede quedar del lado inseguro con tensión y compresión a la vez
Coulomb–Mohr	$\frac{1}{n} = \frac{σ _{A}}{S _{u t}} - \frac{σ _{B}}{S _{u c}}$	el más conservador
Mohr modificado	si $∣ σ_{B} ∣ \leq σ_{A}$ : $n = \frac{S _{u t}}{σ _{A}}$ ; si no, $\frac{1}{n} = \frac{( S _{u c} - S _{u t} ) σ _{A}}{S _{u c} S _{u t}} - \frac{σ _{B}}{S _{u c}}$	el que mejor se ajusta a los ensayos del hierro fundido

Zonas seguras de cada criterio en el plano de los esfuerzos principales. A la derecha, el cuarto cuadrante, que es donde están todos los puntos de una viga.

Consecuencia práctica: en una viga de material frágil casi siempre manda la fibra traccionada. Por eso las vigas de hierro fundido suelen tener secciones asimétricas (en T) con el ala del lado en tensión: así esa fibra queda más cerca del eje neutro y su esfuerzo baja.

Factor de seguridad y diseño de la sección

Revisar una viga es calcular el factor de seguridad de una sección dada. Diseñarla es lo inverso: elegir la medida mínima para un factor de seguridad pedido. Con el esfuerzo permisible $σ_{perm} = S_{y} / FS$ y una sección donde manda la flexión,

S \geq \frac{∣ M ∣ _{m \overset{a}{ˊ} x}}{σ _{perm}} ⟹ d = 3 \frac{32 ∣ M ∣ _{m \overset{a}{ˊ} x} FS}{π S _{y}} (secci \overset{o}{ˊ} n circular)

El valor de $FS$ lo fija la norma de diseño o el enunciado; refleja la incertidumbre en cargas, material y modelo.
La medida calculada se redondea hacia arriba a una medida práctica, y con ella se vuelve a calcular el factor de seguridad real.
Después hay que comprobar lo que la fórmula no mira: el cortante en los apoyos, la deflexión y, si hay compresión, el pandeo.

La pestaña Diseño del simulador hace todo esto para seis formas a la vez (circular, tubular, cuadrada, rectangular…) y compara su peso: a igual resistencia, las secciones huecas pesan bastante menos.

Errores frecuentes

Usar el momento de inercia respecto de la base en lugar del eje neutro (el que pasa por el centroide).
Combinar el $σ$ máximo con el $τ$ máximo en el mismo punto: en una sección rectangular no ocurren juntos.
Usar von Mises o Tresca con un material frágil: compararían con una «fluencia» que no existe y no distinguen tensión de compresión.
Mezclar unidades: con $M$ en kN·m, $c$ en mm e $I$ en mm⁴, hay que pasar $M$ a N·mm ( $\times 1 0^{6}$ ) para obtener MPa.
Redondear la medida de diseño hacia abajo, o no recalcular el factor de seguridad con la medida final.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Voladizo de acero: von Mises y Tresca

Un voladizo de 1 m de acero A36 (

S_{y} = 250

MPa), de sección rectangular de 100 mm de ancho y 200 mm de alto, soporta 40 kN en su extremo libre. Halla los esfuerzos en la fibra extrema y en el eje neutro de la sección crítica, los esfuerzos de von Mises y Tresca, y el factor de seguridad.

Solución

Sección crítica: el empotramiento, donde $∣ M ∣ = 40 \cdot 1 = 40$ kN·m y $V = 40$ kN.
Propiedades: $I = \frac{100 \cdot 20 0 ^{3}}{12} = 66.67 \times 1 0^{6}$ mm⁴, $c = 100$ mm, $A = 20000$ mm².
Punto A (fibra extrema): $σ = \frac{40 \times 1 0 ^{6} \cdot 100}{66.67 \times 1 0 ^{6}} = 60$ MPa (tensión arriba, compresión abajo) y $τ = 0$ . Entonces $σ_{v m} = σ_{T} = 60$ MPa.
Punto B (eje neutro): $σ = 0$ y $τ = \frac{3 V}{2 A} = \frac{3 \cdot 40 000}{2 \cdot 20 000} = 3$ MPa, así que $σ_{v m} = 3 \cdot 3 = 5.196$ MPa y $σ_{T} = 2 \cdot 3 = 6$ MPa.
Gobierna A: $FS = \frac{250}{60} = 4.17$ con los dos criterios. En una viga larga y maciza el cortante casi no cuenta.

σ_{m \overset{a}{ˊ} x} = 60

MPa,

τ_{m \overset{a}{ˊ} x} = 3

MPa;

σ_{v m} = σ_{T} = 60

MPa en A y

FS = 4.17

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Vigas, longitud 1 m; en Apoyos deja un solo apoyo Empotrado en 0.
En Sección y material: material Acero A36, tipo de sección Rectangular sólida y perfil comercial 100 × 200 mm; criterio de falla von Mises (dúctil).
En Cargas, + Puntual de 40 kN hacia abajo (↓ −y) en $x = 1$ .
Lee las tarjetas Esfuerzo normal máx., von Mises · Tresca y Factor de seguridad. En el procedimiento, el paso «Criterios de falla: von Mises y Tresca» trae la tabla con los puntos A y B (el simulador toma A en la fibra inferior, en compresión: con un material dúctil da lo mismo).

Abrir en el simulador →

Ejemplo 2El mismo voladizo de hierro fundido

Repite el ejemplo anterior con hierro gris ASTM 30 (

S_{u t} = 214

MPa,

S_{u c} = 752

MPa, los valores del simulador). Usa los tres criterios para materiales frágiles.

Solución

Los esfuerzos no dependen del material: $\pm 60$ MPa en las fibras extremas y $τ = 3$ MPa en el eje neutro.
Fibra superior (tensión): $σ_{A} = 60$ , $σ_{B} = 0$ . Los tres criterios dan $n = \frac{214}{60} = 3.57$ .
Fibra inferior (compresión): $σ_{A} = 0$ , $σ_{B} = - 60$ . Los tres dan $n = \frac{752}{60} = 12.5$ : el hierro aguanta 3.5 veces más en compresión.
Eje neutro: $σ_{A, B} = \pm 3$ MPa. Esfuerzo normal máximo y Mohr modificado ( $∣ σ_{B} ∣ \leq σ_{A}$ ): $n = 214/3 = 71.3$ ; Coulomb–Mohr: $\frac{1}{n} = \frac{3}{214} + \frac{3}{752}$ , $n = 55.5$ .

Gobierna la fibra traccionada:

n = 3.57

con cualquiera de los tres criterios.

Resuélvelo en Simuveliq

Con el modelo del ejemplo 1, cambia el material a Hierro gris ASTM 30 (frágil) y el criterio de falla a Mohr modificado (frágil).
Las tarjetas Esfuerzo equivalente y Factor de seguridad dan 60 MPa y 3.57.
El paso «Criterio de falla para material frágil» del procedimiento muestra la tabla con los tres criterios en los puntos A y B; prueba a cambiar el criterio y verás que el resultado no cambia, porque en A no hay compresión.

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Ejemplo 3Diámetro de una barra circular

Una barra circular maciza de acero A36, simplemente apoyada con 3 m de luz, soporta 10 kN/m en toda su longitud. Halla el diámetro mínimo para un factor de seguridad de 2 con von Mises.

Solución

Momento máximo, en el centro: $M = \frac{w L ^{2}}{8} = \frac{10 \cdot 3 ^{2}}{8} = 11.25$ kN·m. Ahí $V = 0$ , así que solo hay flexión.
Esfuerzo permisible: $σ_{perm} = \frac{250}{2} = 125$ MPa, así que $S \geq \frac{11.25 \times 1 0 ^{6}}{125} = 90000$ mm³.
$\frac{π d ^{3}}{32} = 90000 \Rightarrow d = 97.14$ mm. Medida práctica: 98 mm.
Con 98 mm: $σ = \frac{32 \cdot 11.25 \times 1 0 ^{6}}{π \cdot 9 8 ^{3}} = 121.8$ MPa y $FS = \frac{250}{121.8} = 2.05$ .
Cortante en los apoyos: $V = 15$ kN y $τ_{m \overset{a}{ˊ} x} = \frac{4 V}{3 A} = \frac{4 \cdot 15 000}{3 \cdot 7543} = 2.65$ MPa, muy por debajo; ahí además $M = 0$ .

d_{req} = 97.14

mm; con la medida práctica de 98 mm,

FS = 2.05

Resuélvelo en Simuveliq

Longitud 3 m, apoyo Articulado en 0 y Rodillo en 3; carga + Distribuida uniforme de 0 a 3 con 10 kN/m; material Acero A36.
Abre la pestaña Diseño: forma de la sección Circular sólida, FS mínimo 2 y criterio von Mises (dúctil).
Lee Dimensión requerida (97.14 mm), Usar (medida práctica) (98 mm) y FS obtenido (2.05). «Cómo se calculó» repite la fórmula de arriba, y la tabla compara las otras formas: la rectangular tubular es la más ligera.

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