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Vigas: reacciones, cortante y momento

Una viga es un elemento largo que lleva cargas perpendiculares a su eje hasta sus apoyos, trabajando a flexión. Analizarla es contestar cuatro preguntas: qué fuerzas hacen los apoyos, qué fuerzas internas hay en cada sección, cuánto se deforma y si el material lo resiste. Aquí verás las tres primeras con ejemplos que luego resuelves en el simulador.

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Apoyos y reacciones

Cada apoyo impide ciertos movimientos y, para hacerlo, ejerce fuerzas sobre la viga: las reacciones. Son las incógnitas del problema.

Reacciones que aporta cada tipo de apoyo.

Apoyo	Impide	Reacciones
Rodillo	el desplazamiento perpendicular a la superficie	1: $A_{y}$
Articulado	los dos desplazamientos	2: $A_{x}, A_{y}$
Empotramiento	desplazamientos y giro	3: $A_{x}, A_{y}, M_{A}$

En el plano hay tres ecuaciones de equilibrio, así que con ellas se hallan como máximo tres reacciones:

\sum F_{x} = 0 \sum F_{y} = 0 \sum M_{O} = 0

Si la viga tiene justo tres reacciones independientes es isostática y basta el equilibrio. Si tiene más (por ejemplo, un empotramiento y un rodillo) es hiperestática: hacen falta ecuaciones adicionales de deformación. El simulador te dice en qué caso estás en la tarjeta de reacciones y en el primer paso del procedimiento.

Para tomar momentos conviene elegir un punto por donde pasen varias incógnitas: así desaparecen de la ecuación y se despeja una sola.

Cómo hallar las reacciones, paso a paso

Dibuja el diagrama de cuerpo libre: la viga sola, sin los apoyos, con cada apoyo reemplazado por sus reacciones. Si no sabes hacia dónde va una reacción, supón un sentido: si sale negativa, era al revés.
Reemplaza cada carga distribuida por su resultante (ver la tabla de abajo), solo para este paso.
Toma momentos en un apoyo: la ecuación da directamente la reacción del otro apoyo.
Suma fuerzas verticales y horizontales para las que faltan. Sin cargas inclinadas, $A_{x} = 0$ .
Comprueba con la ecuación que no usaste, por ejemplo momentos respecto del otro apoyo: debe dar cero.

El simulador escribe estas mismas ecuaciones, con tus números, en el «Procedimiento paso a paso». Las cargas inclinadas se descomponen en sus componentes antes de empezar; la horizontal solo afecta a $A_{x}$ (y a la fuerza axial), no a los diagramas de $V$ y $M$ .

Tipos de carga

Para hallar las reacciones, una carga distribuida se reemplaza por su resultante: una fuerza igual al área bajo el diagrama de carga, aplicada en su centroide. Ojo: ese reemplazo sirve solo para el equilibrio global, no para dibujar los diagramas.

Carga puntual, uniforme y triangular con su resultante.

Carga sobre un tramo de longitud $a$	Resultante	Dónde actúa
uniforme $w$	$w a$	en el centro del tramo, $a /2$
triangular, de 0 a $w$	$\frac{w a}{2}$	a $a /3$ del lado mayor ( $2 a /3$ del vértice)
trapecial, de $w_{1}$ a $w_{2}$	$\frac{( w _{1} + w _{2} ) a}{2}$	se divide en un rectángulo y un triángulo, cada uno con su resultante
momento puntual $M_{0}$	no es una fuerza	solo entra en la suma de momentos, igual respecto de cualquier punto

Las unidades ayudan a no equivocarse: $w$ va en kN/m, así que $w a$ queda en kN; un momento va en kN·m. Si una cuenta de reacciones te da kN·m, falta o sobra una distancia.

Fuerza cortante y momento flector

Si se corta la viga en una sección a una distancia $x$ , cada parte debe seguir en equilibrio. Para eso aparecen en el corte dos fuerzas internas: la fuerza cortante $V$ (perpendicular al eje) y el momento flector $M$ . Con el convenio usual, $M$ es positivo cuando comprime la fibra superior (la viga «sonríe»).

Sentidos positivos de V y M a cada lado del corte.

Método de las secciones

Divide la viga en tramos: un tramo nuevo empieza en cada apoyo, carga puntual, momento puntual y en cada inicio o fin de carga distribuida.
En cada tramo corta a una distancia $x$ y dibuja el trozo de la izquierda con $V$ y $M$ en sus sentidos positivos.
Equilibrio de ese trozo: $\sum F_{y} = 0$ da $V (x)$ y $\sum M_{corte} = 0$ da $M (x)$ . Las cargas distribuidas del trozo sí se reemplazan por su resultante, pero solo la parte que queda dentro del trozo.
Si el trozo de la derecha es más simple (un voladizo, por ejemplo), úsalo: el resultado es el mismo, con los sentidos positivos del otro lado del corte.

Los libros no usan todos el mismo convenio de signos. Aquí y en el simulador,

M

es positivo si tracciona la fibra inferior y se dibuja del lado traccionado; si tu curso usa otro, el dibujo puede salir reflejado, pero los valores son los mismos.

Del equilibrio de un trozo pequeño salen dos relaciones que permiten dibujar los diagramas casi sin cuentas ( $w$ es la carga distribuida, positiva hacia abajo):

\frac{d V}{d x} = - w (x) \frac{d M}{d x} = V (x)

Integradas entre dos secciones $a$ y $b$ dicen lo mismo con áreas, que es como se usan para dibujar a mano:

V_{b} - V_{a} = - \int_{a}^{b} w d x M_{b} - M_{a} = \int_{a}^{b} V d x

Es decir, el momento cambia entre dos puntos lo que vale el área del diagrama de cortante entre ellos. Recorriendo la viga de izquierda a derecha y sumando áreas se llega al extremo libre o al último apoyo con $M = 0$ (salvo que haya un empotramiento o un momento aplicado): si no da cero, hay un error en las reacciones.

La pendiente del diagrama de cortante es la carga: donde no hay carga, $V$ es constante; con carga uniforme, $V$ es una recta.
La pendiente del diagrama de momento es el cortante: el momento es máximo o mínimo donde $V = 0$ (o donde $V$ cambia de signo bajo una carga puntual).
Una carga puntual produce un salto en $V$ igual a la carga; un momento puntual, un salto en $M$ .

Tramo con…	Diagrama de V	Diagrama de M
sin carga	constante	recta
carga uniforme	recta	parábola (2.º grado)
carga triangular	parábola	cúbica (3.er grado)
carga puntual	salto igual a P	cambio de pendiente (pico)

Esfuerzos por flexión y por cortante

El momento flector estira las fibras de un lado del eje neutro y acorta las del otro. El esfuerzo normal crece linealmente con la distancia $y$ al eje neutro y es máximo en la fibra más alejada, a una distancia $c$ :

σ = \frac{M y}{I} σ_{m \overset{a}{ˊ} x} = \frac{∣ M ∣ _{m \overset{a}{ˊ} x} c}{I} = \frac{∣ M ∣ _{m \overset{a}{ˊ} x}}{S}

$I$ es el momento de inercia de la sección respecto del eje neutro y $S = I / c$ el módulo de sección. Por eso se mira el diagrama de momento para el diseño: la sección crítica es la de mayor $∣ M ∣$ . El cortante produce un esfuerzo $τ = \frac{V Q}{I t}$ , máximo en el eje neutro; en una sección rectangular vale $τ_{m \overset{a}{ˊ} x} = \frac{3 V}{2 A}$ , un 50 % más que el promedio.

En una viga larga manda casi siempre la flexión; el cortante importa en vigas cortas con cargas grandes cerca de los apoyos y en almas delgadas. En el simulador, la pestaña Diseño calcula estos esfuerzos para la sección y el material que elijas.

Esfuerzos en vigas y criterios de fallaEsfuerzo normal y cortante en la sección, esfuerzos principales, von Mises y Tresca, criterios para materiales frágiles y diseño de la sección.

Deflexión

La viga se curva según su rigidez a flexión $E I$ (módulo de elasticidad por momento de inercia de la sección). La curva elástica $y (x)$ cumple, para pequeñas deformaciones,

E I \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = M (x)

Integrando dos veces y usando las condiciones de los apoyos se obtiene la deflexión. Para los casos clásicos conviene recordar estos resultados:

Caso	Momento máximo	Deflexión máxima
Simplemente apoyada, carga uniforme $w$	$\frac{w L ^{2}}{8}$	$\frac{5 w L ^{4}}{384 E I}$
Simplemente apoyada, $P$ en el centro	$\frac{P L}{4}$	$\frac{P L ^{3}}{48 E I}$
Voladizo, $P$ en el extremo	$P L$	$\frac{P L ^{3}}{3 E I}$
Voladizo, carga uniforme $w$	$\frac{w L ^{2}}{2}$	$\frac{w L ^{4}}{8 E I}$

Las dos constantes de integración salen de las condiciones de borde, que dependen de cada apoyo:

Punto	Condiciones
Articulado o rodillo	$y = 0$ (puede girar)
Empotramiento	$y = 0$ y $y^{'} = 0$ (ni baja ni gira)
Extremo libre	$M = 0$ y $V = 0$ (sin cargas aplicadas ahí)

Como la ecuación es lineal, vale la superposición: la deflexión con varias cargas es la suma de las deflexiones de cada carga sola. Así se combinan los casos de la tabla, y así se resolvió el ejemplo 4. La deflexión máxima suele compararse con un límite de servicio del tipo $L /360$ o $L /240$ , según el uso de la viga.

Cuidado con las unidades de

E I

: con

E

en GPa e

I

en cm⁴ o mm⁴ es fácil equivocarse por potencias de diez. El simulador las convierte por ti y da la deflexión en mm (o in).

Errores frecuentes

Usar la resultante de una carga distribuida para dibujar $V$ y $M$ : sirve para las reacciones, no dentro de los diagramas.
Olvidar el momento del empotramiento $M_{A}$ al tomar momentos, o ponerlo con el signo que no corresponde.
Buscar el momento máximo solo bajo las cargas: con carga distribuida está donde $V = 0$ , que puede estar entre dos cargas.
Quedarse solo con el máximo positivo: en vigas con voladizo el momento negativo sobre el apoyo puede ser el mayor en valor absoluto.
Resolver una viga hiperestática solo con equilibrio: si hay más de tres reacciones, el sistema no tiene solución única sin la deformación.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Simplemente apoyada con una carga puntual

Una viga de 6 m está articulada en A (

x = 0

) y apoyada en un rodillo en B (

x = 6

m). Soporta una carga de 12 kN a 2 m de A. Halla las reacciones y el momento flector máximo.

Solución

Momentos respecto de A (sentido antihorario positivo): $6 B_{y} - 12 \cdot 2 = 0 \Rightarrow B_{y} = 4$ kN.
Fuerzas verticales: $A_{y} + B_{y} - 12 = 0 \Rightarrow A_{y} = 8$ kN.
Cortante: $V = 8$ kN entre A y la carga, y $V = 8 - 12 = - 4$ kN después. Cambia de signo bajo la carga, así que ahí está el momento máximo.
$M_{m \overset{a}{ˊ} x} = A_{y} \cdot 2 = 16$ kN·m (el área del diagrama de cortante entre A y la carga).

A_{y} = 8

kN,

B_{y} = 4

kN y

M_{m \overset{a}{ˊ} x} = 16

kN·m en

x = 2

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Vigas, escribe la longitud 6 m.
En Apoyos, deja un apoyo Articulado en 0 y cambia el otro a Rodillo en 6.
En Cargas, pulsa + Puntual, pon 12 kN en $x = 2$ y borra las demás cargas.
Lee las reacciones en la tarjeta Reacciones y el momento en Momento máximo; los diagramas y el «Procedimiento paso a paso» muestran el mismo razonamiento.

Abrir en el simulador →

Diagramas del ejemplo 1: el momento es máximo donde el cortante cambia de signo.

Ejemplo 2Voladizo con carga uniforme

Un voladizo de 3 m está empotrado en A y soporta una carga uniforme de 4 kN/m en toda su longitud. Halla las reacciones del empotramiento y el diagrama de momento.

Solución

Resultante de la carga: $R = w L = 4 \cdot 3 = 12$ kN, aplicada en el centro (1.5 m).
Fuerzas verticales: $A_{y} = 12$ kN.
Momentos en A: $M_{A} = 12 \cdot 1.5 = 18$ kN·m (el empotramiento tiene que equilibrar el giro).
Midiendo desde el extremo libre, $M (s) = - \frac{w s ^{2}}{2}$ : una parábola, nula en el extremo y de $- 18$ kN·m en el empotramiento (negativo: tracciona la fibra superior).

A_{y} = 12

kN y

M_{A} = 18

kN·m; el momento máximo, en valor absoluto, está en el empotramiento:

\frac{w L ^{2}}{2}

Resuélvelo en Simuveliq

Longitud 3 m; en Apoyos deja un solo apoyo de tipo Empotrado en 0.
En Cargas, pulsa + Distribuida, forma Uniforme, de 0 a 3 con $w = 4$ kN/m.
La tarjeta Reacciones muestra $A_{y}$ y $M_{A}$ ; en Diagramas verás la recta del cortante y la parábola del momento.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 3Viga con voladizo: momento positivo y negativo

Una viga de 8 m está articulada en A (

x = 0

) y apoyada en B (

x = 6

m), con un voladizo de 2 m. Soporta 3 kN/m en toda su longitud. Halla las reacciones y los momentos máximos positivo y negativo.

Solución

Resultante: $3 \cdot 8 = 24$ kN en $x = 4$ m. Momentos en A: $6 B_{y} - 24 \cdot 4 = 0 \Rightarrow B_{y} = 16$ kN; luego $A_{y} = 24 - 16 = 8$ kN.
Entre A y B: $V (x) = 8 - 3 x$ , que se anula en $x = 8/3 \approx 2.667$ m.
Ahí el momento es máximo: $M = 8 x - 1.5 x^{2} = 10.67$ kN·m.
Sobre el apoyo B, el voladizo cuelga: $M_{B} = - \frac{3 \cdot 2 ^{2}}{2} = - 6$ kN·m.

A_{y} = 8

kN,

B_{y} = 16

kN;

M_{m \overset{a}{ˊ} x}^{+} = 10.67

kN·m en

x = 2.667

m y

M_{m \overset{a}{ˊ} x}^{-} = - 6

kN·m sobre B.

Resuélvelo en Simuveliq

Longitud 8 m; apoyo Articulado en 0 y Rodillo en 6.
Carga Distribuida uniforme de 0 a 8 con 3 kN/m.
En Diagramas, pasa el cursor por la gráfica: en $x = 2.667$ m el cortante vale 0 y el momento 10.67 kN·m. La tabla «Valores críticos» del procedimiento lista los dos extremos.

Abrir en el simulador →

Diagramas del ejemplo 3: el máximo positivo está donde V = 0 y el negativo sobre el apoyo del voladizo.

Ejemplo 4Empotrada y apoyada (hiperestática)

Una viga de 6 m está empotrada en A y apoyada en un rodillo en B, con una carga uniforme de 4 kN/m. Halla las reacciones.

Solución

Hay cuatro reacciones ( $A_{x}, A_{y}, M_{A}, B_{y}$ ) y tres ecuaciones: la viga es hiperestática de grado 1 y el equilibrio no alcanza.
Condición extra (compatibilidad): la deflexión en B es cero. Quitando el rodillo, la carga baja el extremo $\frac{w L ^{4}}{8 E I}$ y la reacción $B_{y}$ lo sube $\frac{B _{y} L ^{3}}{3 E I}$ ; igualando, $B_{y} = \frac{3 w L}{8} = 9$ kN.
Equilibrio: $A_{y} = 24 - 9 = 15$ kN y $M_{A} = 24 \cdot 3 - 9 \cdot 6 = 18$ kN·m $= \frac{w L ^{2}}{8}$ .

A_{y} = 15

kN,

B_{y} = 9

kN y

M_{A} = 18

kN·m. No dependen de

E I

porque la viga es de un solo material y sección.

Resuélvelo en Simuveliq

Longitud 6 m; apoyo Empotrado en 0 y Rodillo en 6.
Carga Distribuida uniforme de 0 a 6 con 4 kN/m.
La tarjeta Reacciones indica «Hiperestática · grado 1» y da los valores; el procedimiento paso a paso muestra la ecuación de compatibilidad que usó el simulador.

Abrir en el simulador →

Prueba a cambiar los datos de cualquier ejemplo en el simulador (mover un apoyo, añadir una carga) y mira cómo cambian los diagramas: es la forma más rápida de entender las reglas de arriba.

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