Escribe los esfuerzos σx, σy y τxy de un elemento diferencial y obtén al instante el círculo de Mohr, los esfuerzos principales, el cortante máximo y los esfuerzos sobre el elemento girado a cualquier ángulo. También funciona al revés: construye el círculo (con σ1, σ2 y θp, o arrastrando el centro y el punto X) y obtén el elemento en x–y. Incluye una resolución detallada paso a paso, con la deducción de las ecuaciones de transformación.
Es la representación gráfica de las ecuaciones de transformación del esfuerzo plano: cada punto del círculo da el esfuerzo normal y el cortante sobre una cara del elemento girado.
Son C ± R, con el centro C = (σx + σy)/2 y el radio R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²]; su orientación sale de tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
En un punto de una pieza cargada, los esfuerzos dependen de la orientación del plano en el que se miden. El círculo de Mohr es una forma gráfica de ver todas esas orientaciones a la vez: en qué plano el esfuerzo normal es máximo (esfuerzo principal), dónde el cortante es máximo y cuánto valen. Esta guía cubre el esfuerzo plano, las fórmulas detrás del círculo y un ejemplo completo.
En un estado de esfuerzo plano, el elemento diferencial tiene σx, σy y τxy, y las caras perpendiculares a z están libres. Si se gira el elemento un ángulo θ (antihorario positivo), los esfuerzos en las caras nuevas son
σx′ = (σx + σy)/2 + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sen 2θ
τx′y′ = −(σx − σy)/2 · sen 2θ + τxy · cos 2θ
Estas dos ecuaciones son las de un círculo en el plano (σ, τ): al girar el elemento θ, el punto que representa la cara x se mueve 2θ sobre el círculo.
C = (σx + σy)/2 R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²]
σ positivo es tensión; τxy es positivo si en la cara +x apunta hacia +y; θ es positivo en sentido antihorario. La herramienta dibuja el eje τ positivo hacia abajo, como Hibbeler: así el punto X = (σx, τxy) y girar θ en el elemento equivale a girar 2θ en el círculo en el mismo sentido. Otros libros, como Beer, dibujan X = (σx, −τxy) con τ hacia arriba; es la misma figura.
Un elemento con σx = 80 MPa, σy = −40 MPa y τxy = 30 MPa (es el estado que abre la herramienta).
Aunque el problema sea plano, existe un tercer esfuerzo principal, σz = 0. Si σ1 y σ2 tienen signos opuestos, como en el ejemplo, el cortante máximo absoluto es el del plano, R. Pero si tienen el mismo signo (por ejemplo, en un recipiente a presión de pared delgada, con σh = 2σa), el cortante máximo absoluto es σmáx/2 y es mayor que el del plano. Con la opción «Incluir σz = 0» la herramienta dibuja los tres círculos.
R. C. Hibbeler, Mecánica de materiales (Pearson); J. M. Gere y B. J. Goodno, Mecánica de materiales (Cengage); F. P. Beer, E. R. Johnston y otros, Mecánica de materiales (McGraw-Hill). Simuveliq no está afiliado a estos autores ni editoriales.
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