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Control: lugar de las raíces, Bode y diseño

Con el modelo en la mano, diseñar es elegir el controlador para que el lazo cerrado sea estable, rápido, con poco sobreimpulso y poco error. Este tema presenta las dos herramientas gráficas clásicas, el lugar de las raíces y el diagrama de Bode, y con ellas las especificaciones, el PID y los compensadores de adelanto y atraso.

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Lugar de las raíces

El lugar de las raíces dibuja por dónde se mueven los polos de lazo cerrado cuando una ganancia $K$ va de 0 a ∞. La ecuación característica se escribe $1 + K L (s) = 0$ , con $L = N / D$ de lazo abierto, y un punto $s$ está en el lugar si cumple las condiciones de ángulo y de magnitud:

∠ L (s) = \pm 18 0^{\circ} (2 q + 1) K = \frac{1}{∣ L ( s ) ∣}

Regla	Qué dice
Inicio y fin	Hay $n$ ramas (una por polo de lazo abierto): salen de los polos ( $K = 0$ ) y $m$ de ellas terminan en los ceros ( $K \to \infty$ ); las demás se van al infinito.
Eje real	Un punto del eje real está en el lugar si a su derecha hay un número impar de polos y ceros reales.
Asíntotas	Las $n - m$ ramas que se van al infinito siguen rectas desde $σ_{a} = (Σ p - Σ z) / (n - m)$ con ángulos $(2 q + 1) 180°/ (n - m)$ .
Ruptura	Donde dos ramas del eje real se encuentran y salen del eje: raíces reales de $D^{'} N - D N^{'} = 0$ con $K > 0$ .
Ángulo de salida	Desde un polo complejo: $θ_{d} = 180° - Σ∠ (otros polos) + Σ∠ (ceros)$ .
Cruce con jω	La $K$ y la $ω$ del límite de estabilidad, con Routh (fila de ceros y polinomio auxiliar).

Un cero añadido atrae las ramas hacia la izquierda (estabiliza); un polo añadido las empuja a la derecha. Esa es la idea de los compensadores.

Respuesta en frecuencia y márgenes

Con una entrada senoidal $sin ω t$ , un sistema estable responde en estado estable con otra senoide de la misma frecuencia, multiplicada por $∣ G (jω) ∣$ y desfasada $∠ G (jω)$ . El diagrama de Bode dibuja las dos en función de $ω$ en escala logarítmica, la magnitud en decibeles ( $20 lo g_{10} ∣ G ∣$ ). Cada polo resta 20 dB/década a partir de su frecuencia y hasta 90° de fase; cada cero los suma; un integrador da −20 dB/década y −90° desde el principio.

Sobre la función de lazo abierto $L (jω)$ se miden dos márgenes, cuánto falta para que el lazo cerrado oscile ( $L = - 1$ ):

MF = 18 0^{\circ} + ∠ L (j ω_{c g}), ∣ L (j ω_{c g}) ∣ = 1 MG = - 20 lo g_{10} ∣ L (j ω_{c f}) ∣, ∠ L (j ω_{c f}) = - 18 0^{\circ}

Bode de

L = 10/ (s (s + 1) (s + 5))

: margen de fase en el cruce de ganancia y margen de ganancia en el cruce de fase.

Un margen de fase de 45–60° da una respuesta bien amortiguada; para un sistema dominado por dos polos, $ζ \approx MF /100$ (con MF en grados, hasta unos 60°). El margen de ganancia dice cuántas veces se puede multiplicar la ganancia antes de llegar al límite. El diagrama de Nyquist dibuja $L (jω)$ en el plano complejo y da el mismo criterio contando las vueltas alrededor de −1.

Especificaciones en el plano s

Un sobreimpulso máximo fija el amortiguamiento mínimo, y un tiempo de establecimiento, la parte real mínima de los polos dominantes:

ζ = \frac{- ln M _{p}}{π ^{2} + ln ^{2} M _{p}} σ = \frac{4}{t _{s}} ω_{n} = \frac{σ}{ζ} s_{d} = - σ \pm j ω_{n} 1 - ζ^{2}

Los polos que cumplen están dentro de un cono de semiángulo $arccos ζ$ alrededor del semieje real negativo y a la izquierda de $- σ$ . Si el lugar de las raíces pasa por $s_{d}$ , basta elegir $K = 1/∣ L (s_{d}) ∣$ ; si no pasa, falta ángulo y hay que añadir un compensador que lo aporte (condición de ángulo).

Controlador PID

G_{c} (s) = K_{p} + \frac{K _{i}}{s} + K_{d} s = K_{p} (1 + \frac{1}{T _{i} s} + T_{d} s)

Acción	Qué hace	Cuidado
Proporcional $K_{p}$	Responde al error actual; más $K_{p}$ , más rápido y menos error.	Más sobreimpulso y, al final, inestabilidad.
Integral $K_{i}$	Acumula el error pasado: sube el tipo y elimina el error al escalón.	Añade fase negativa: más oscilación; satura (wind-up).
Derivativa $K_{d}$	Anticipa con la pendiente del error: amortigua y aporta fase.	Amplifica el ruido; en la práctica se filtra.

Sin modelo, o como punto de partida, se usan reglas de sintonía. Las de Ziegler–Nichols por oscilación sostenida suben una ganancia proporcional hasta el límite de estabilidad: la ganancia última $K_{u}$ y el período de esa oscilación $P_{u}$ dan:

Controlador	$K_{p}$	$T_{i}$	$T_{d}$
P	$0.5 K_{u}$	∞	0
PI	$0.45 K_{u}$	$P_{u} /1.2$	0
PID	$0.6 K_{u}$	$P_{u} /2$	$P_{u} /8$

Ziegler–Nichols busca un decaimiento de ¼ por ciclo y suele dejar sobreimpulsos grandes; Tyreus–Luyben es más conservador. En todos los casos, el ajuste fino se hace mirando la respuesta.

Compensadores de adelanto y atraso

Un compensador de adelanto tiene un cero antes que su polo y suma fase alrededor del cruce de ganancia: sube el margen de fase (menos sobreimpulso) y hace más rápido el lazo. Uno de atraso tiene el polo antes que el cero, muy cerca del origen: sube la ganancia en baja frecuencia (menos error en estado estable) sin tocar casi la fase en el cruce.

G_{a d} (s) = \frac{T s + 1}{α T s + 1}, α < 1 sin φ_{m} = \frac{1 - α}{1 + α} ω_{m} = \frac{1}{T α}

Fase que añade el adelanto del ejemplo 3 (α = 0.2996, T = 1.057): el máximo está a mitad de camino, en escala logarítmica, entre el cero y el polo.

Diseño por Bode: (1) fase que falta, $φ_{m} = M F_{d ese a d o} - MF + 5$ a $12°$ de reserva, porque el cruce se moverá a la derecha, donde la fase es menor; (2) $α$ de $sin φ_{m}$ ; (3) el nuevo cruce se pone donde $∣ L ∣ = 10 lo g α$ , porque ahí el compensador suma $- 10 lo g α$ dB, y allí va $ω_{m}$ ; (4) $T = 1/ (ω_{m} α)$ ; (5) comprobar el margen y repetir si no se alcanza.

Errores frecuentes

Olvidar la parte del eje real en el lugar de las raíces, o contar a la izquierda en vez de a la derecha.
Medir los márgenes sobre $T (s)$ en lugar de la función de lazo abierto $L (s)$ .
Creer que más ganancia siempre mejora: reduce el error, pero también el margen de fase.
Tomar la sintonía de Ziegler–Nichols como el diseño final: es un punto de partida agresivo.
Diseñar un adelanto sin reserva de fase: el margen final queda por debajo del pedido.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Lugar de las raíces paso a paso

Dibuja el lugar de las raíces de

1 + \frac{K}{s ( s + 1 ) ( s + 5 )} = 0

para

K > 0

Solución

Polos de lazo abierto: 0, −1 y −5 ( $n = 3$ ); sin ceros ( $m = 0$ ): las tres ramas se van al infinito.
Eje real: con un número impar de polos a la derecha están $[- 1, 0]$ (uno) y $(- \infty, - 5]$ (tres).
Asíntotas: $σ_{a} = (0 - 1 - 5) /3 = - 2$ con ángulos 60°, 180° y 300°.
Ruptura: $D = s^{3} + 6 s^{2} + 5 s$ , $D^{'} = 3 s^{2} + 12 s + 5 = 0$ → $s = - 0.4725$ (la otra raíz, −3.53, no está en el lugar). Ahí $K = - D (s) = 1.128$ .
Cruce con jω (Routh, ejemplo 3 del tema anterior): $K = 30$ , $ω = \pm 2.236$ rad/s. Las dos ramas que salen de la ruptura suben, cruzan el eje en $\pm 2.236 j$ y siguen las asíntotas de ±60°; la tercera va de −5 hacia −∞.

Asíntotas desde −2 a 60°, 180° y 300°; ruptura en −0.4725 (K = 1.128); cruce con jω en ±2.236j con K = 30.

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar diagrama» → Lazo cerrado con K (Routh). En Lugar de las raíces y respuesta en frecuencia, pestaña Lugar de las raíces, los pasos numerados dan los polos, el eje real (−∞, −5] ∪ [−1, 0], las asíntotas (σa = −2), la ruptura s = −0.4725 (K = 1.128) y el cruce K = 30, ω = ±2.236.
Los puntos ● son los polos con el Valor de K actual (10): −5.418 y −0.2911 ± 1.327j. Cambia K y míralos recorrer las ramas.

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Ejemplo 2Ganancia para cumplir especificaciones

Para

G = K / (s (s + 4))

con realimentación unitaria se pide

M_{p} \leq 10 %

t_{s} \leq 2

s (2 %). ¿Qué

K

las cumple?

Solución

$ζ = - ln 0.1/ π^{2} + ln^{2} 0.1 = 0.5912$ y $σ = 4/2 = 2$ , así que $ω_{n} = σ / ζ = 3.383$ rad/s y $s_{d} = - 2 \pm 2.729 j$ .
El lugar de $s^{2} + 4 s + K$ : los polos 0 y −4 se juntan en −2 ( $K = 4$ ) y suben por la vertical $σ = - 2$ . Toda esa vertical cumple $t_{s}$ ; el sobreimpulso pide además estar dentro del cono.
$s_{d}$ está sobre el lugar (la condición de ángulo se cumple: ∠G = −180°). Magnitud: $K = ∣ s_{d} ∣ ∣ s_{d} + 4∣ = 3.38 3^{2} = 11.45$ .
Con el $K = 20$ inicial los polos están en $- 2 \pm 4 j$ ( $ζ = 0.447$ , 20.8 %): cumplen el tiempo pero no el sobreimpulso. Cualquier $4 < K \leq 11.45$ cumple las dos; con $K \leq 4$ los polos son reales y más lentos.

K = 11.45

pone los polos en

- 2 \pm 2.729 j

(

ζ = 0.591

M_{p} = 10 %

t_{s} \approx 2

s).

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar diagrama» → Perturbación a la salida. En Diseño de controladores, Especificaciones y lugar de raíces trae Mp = 10 % y ts = 2 s: da ζ = 0.5912, σ = 2, ωn = 3.383 y los Polos deseados sd = −2 ± 2.729j.
Dice que el polo actual −2 ± 4j cumple el establecimiento pero no el sobreimpulso, que sd ya está sobre el lugar y que basta K = 11.446; «usar este K» lo pone en el diagrama.

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Ejemplo 3Compensador de adelanto por Bode

Con

L = \frac{10}{s ( s + 1 ) ( s + 5 )}

, el margen de fase es pequeño. Diseña un adelanto para un margen de 50°.

Solución

Sin compensar: $∣ L (jω) ∣ = 1$ en $ω_{c g} = 1.227$ rad/s, donde la fase es −154.6°: $MF = 25.39°$ . El cruce de fase es $5 = 2.236$ rad/s con $∣ L ∣ = 1/3$ : $MG = 20 lo g 3 = 9.54$ dB (el límite de Routh, 30/10 = 3).
Fase que falta con 8° de reserva: $φ_{m} = 50 - 25.39 + 8 = 32.61°$ → $α = (1 - sin 32.61°) / (1 + sin 32.61°) = 0.2996$ .
Nuevo cruce donde $∣ L ∣ = 10 lo g 0.2996 = - 5.234$ dB: $ω_{m} = 1.729$ rad/s. $T = 1/ (ω_{m} α) = 1.057$ : $G_{a d} = \frac{1.057 s + 1}{0.3166 s + 1}$ .
Comprobación: el margen sale 43.58° en 1.729 rad/s, menos de los 50° pedidos, porque al mover el cruce a la derecha la fase de $L$ cayó más de los 8° reservados (tiene tres polos). Aun así el sobreimpulso baja de 48.6 % a 25.3 % y $t_{s}$ de 12.7 s a 4.72 s. Para llegar a 50° se repite con más reserva o con dos adelantos.

G_{a d} = \frac{1.057 s + 1}{0.3166 s + 1}

(

α = 0.2996

): MF de 25.39° a 43.58°,

M_{p}

de 48.6 % a 25.3 %.

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar diagrama» → Lazo cerrado con K (Routh) y, en Diseño de controladores, Adelanto / atraso (Bode), con Margen de fase deseado = 50° (el botón lo abre ahí).
Da MF = 25.39° en ωc = 1.227 rad/s y MG = 9.542 dB, φm = 32.61°, α = 0.2996, ωm = 1.729 rad/s y T = 1.057, el compensado MF = 43.58°, los dos Bode superpuestos y la tabla de la respuesta al escalón (48.6 % → 25.3 %).

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Ejemplo 4Sintonía de un PID por Ziegler–Nichols

Un proceso de soldadura tiene

G_{p} = \frac{1}{s ( s ^{2} + 4 s + 13 )}

y un sensor

H = \frac{1}{s + 1}

. Sintoniza un PID por el método de la oscilación sostenida.

Solución

Con un control proporcional $K$ : $1 + K G_{p} H = 0$ → $s^{4} + 5 s^{3} + 17 s^{2} + 13 s + K = 0$ .
Routh: $s^{4}$ : 1, 17, $K$ ; $s^{3}$ : 5, 13; $s^{2}$ : $(85 - 13) /5 = 14.4$ , $K$ ; $s^{1}$ : $(14.4 \cdot 13 - 5 K) /14.4$ . Se anula en $K_{u} = 187.2/5 = 37.44$ .
Polinomio auxiliar: $14.4 s^{2} + 37.44 = 0$ → $ω_{u} = 1.612$ rad/s y $P_{u} = 2 π / ω_{u} = 3.897$ s.
PID de Ziegler–Nichols: $K_{p} = 0.6 \cdot 37.44 = 22.46$ , $T_{i} = P_{u} /2 = 1.948$ s, $T_{d} = P_{u} /8 = 0.4871$ s; es decir $K_{i} = K_{p} / T_{i} = 11.53$ y $K_{d} = K_{p} T_{d} = 10.94$ .
Al simularlo, el sobreimpulso es del 116 %: la regla es agresiva y aquí, con el sensor lento en la realimentación, demasiado. Es un punto de partida: Tyreus–Luyben baja al 60 % y el ajuste final se hace bajando $K_{p}$ y $K_{d}$ mientras se mira la respuesta.

K_{u} = 37.44

P_{u} = 3.897

s →

K_{p} = 22.46

K_{i} = 11.53

K_{d} = 10.94

(sobreimpulso del 116 %: hay que suavizarlo).

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar diagrama» → Proceso de soldadura: K, planta de 3er orden y sensor (examen típico) y, en Diseño de controladores, Sintonía de PID (el botón lo abre ahí).
El texto del método da Ku = 37.44, ωu = 1.612 rad/s y Pu = 3.897 s; la tabla de reglas, Ziegler–Nichols PID 22.46 · 1.948 · 0.4871 (Ki 11.53, Kd 10.94) con su Mp de 116 %, y las demás reglas con su sobreimpulso. «usar» carga cada una en el PID manual para ajustarlo.

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