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Espectrofotometría: ley de Beer–Lambert

Una disolución coloreada absorbe parte de la luz que la atraviesa, y cuanto más concentrada está, más absorbe. Esa es la base de la espectrofotometría, el método más usado para medir concentraciones en el laboratorio. Este tema explica la ley de Beer–Lambert, la transmitancia, las curvas de calibración y cómo se analiza una mezcla de varias especies.

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Transmitancia y absorbancia

Si llega una intensidad $I_{0}$ y sale $I$ , la transmitancia es $T = I / I_{0}$ (o %T = 100·T). Cada capa delgada de disolución absorbe la misma fracción de la luz que le llega, así que la intensidad cae de forma exponencial y lo que crece en proporción a la concentración es el logaritmo, la absorbancia:

A = - lo g_{10} T = 2 - lo g_{10} (% T) A = ε b c

La luz atraviesa la celda: sale atenuada, y la atenuación crece con el paso óptico y con la concentración.

$ε$ es la absortividad molar (L·mol⁻¹·cm⁻¹), propia de cada especie y de cada longitud de onda; $b$ es el paso óptico (casi siempre 1 cm) y $c$ la concentración molar. A = 1 deja pasar el 10 % de la luz y A = 2 el 1 %: por eso se trabaja mejor con absorbancias entre 0.1 y 1, donde el error relativo de la lectura es pequeño.

Curva de calibración

En la práctica $ε$ rara vez se conoce de antemano: se preparan patrones de concentración conocida, se mide su absorbancia a la longitud de onda del máximo de absorción y se traza A contra c. La pendiente es $ε b$ ; la concentración de una muestra se lee en la recta. Con un solo patrón, $ε = A_{s} / (b c_{s})$ .

Curva de calibración ilustrativa con cinco patrones y una muestra leída en la recta.

La ley se cumple con disoluciones diluidas y luz de una sola longitud de onda. Se aparta a concentraciones altas (las moléculas interactúan, cambia el índice de refracción), con luz parásita o si la especie reacciona o se asocia al diluirse. Por eso las muestras se diluyen hasta caer dentro del rango de los patrones.

Mezclas: aditividad

Si en la muestra hay varias especies que no reaccionan entre sí, sus absorbancias se suman. Midiendo a tantas longitudes de onda como especies (de preferencia cerca del máximo de cada una) queda un sistema lineal con las concentraciones como incógnitas:

A (λ_{j}) = b i \sum ε_{ij} c_{i} \Rightarrow (ε_{11} ε_{12} ε_{21} ε_{22}) (c_{1} c_{2}) = \frac{1}{b} (A_{1} A_{2})

El sistema está bien condicionado cuando cada longitud de onda «ve» sobre todo a una especie; si los espectros se parecen mucho, un pequeño error de lectura cambia mucho las concentraciones. Con más longitudes de onda que especies se resuelve por mínimos cuadrados, que promedia los errores, y el residuo dice qué tan bien encajan las lecturas.

Bandas de absorción (esquemáticas) de Co²⁺ y Ni²⁺: a 510 nm absorbe sobre todo el cobalto y a 656 nm sobre todo el níquel.

Errores frecuentes

Usar %T en lugar de A en $A = ε b c$ , o tomar $A = - lo g (% T)$ sin pasar a fracción.
Mezclar unidades: ε en L·mol⁻¹·cm⁻¹ exige b en cm y c en mol/L.
Extrapolar la curva de calibración más allá del último patrón.
Usar el ε de una longitud de onda para lecturas tomadas en otra.
Olvidar restar el blanco (la celda con solo el disolvente).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1De %T a concentración

Una muestra deja pasar el 45 % de la luz en una celda de 1 cm. La especie tiene ε = 2455 L·mol⁻¹·cm⁻¹ a esa longitud de onda. Halla A y la concentración.

Solución

$T = 0.45$ → $A = - lo g 0.45 = 2 - lo g 45 = 0.3468$ .
$c = A / (ε b) = 0.3468/ (2455 \cdot 1) = 1.413 \times 1 0^{- 4}$ M = 141.3 µM.

A = 0.3468

c = 1.413 \times 1 0^{- 4}

Resuélvelo en Simuveliq

En Química → Espectrofotometría (Beer–Lambert), la tarjeta Ley de Beer: A = ε b c con la lectura en %T = 45, ε = 2455, b = 1 cm y c vacía (el botón lo pone): da c = 1.413×10⁻⁴ M y los dos pasos (A = −log T, luego c = A/εb). La tarjeta Absorbancia ↔ transmitancia hace solo la conversión.

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Ejemplo 2Mezcla de dos especies

Una muestra con Co²⁺ y Ni²⁺ da A = 0.446 a 510 nm y A = 0.326 a 656 nm (b = 1 cm). Las ε son: Co²⁺ 36 400 y 1240; Ni²⁺ 5520 y 17 500 (a 510 y 656 nm). Halla las concentraciones.

Solución

Sistema: $36400 c_{C o} + 5520 c_{N i} = 0.446$ y $1240 c_{C o} + 17500 c_{N i} = 0.326$ .
Determinante: $36400 \cdot 17500 - 5520 \cdot 1240 = 6.3016 \times 1 0^{8}$ . Por Cramer: $c_{C o} = (0.446 \cdot 17500 - 5520 \cdot 0.326) /6.3016 \times 1 0^{8} = 9.530 \times 1 0^{- 6}$ M.
$c_{N i} = (36400 \cdot 0.326 - 1240 \cdot 0.446) /6.3016 \times 1 0^{8} = 1.795 \times 1 0^{- 5}$ M.
Comprobación a 510 nm: el Co aporta $36400 \cdot 9.53 \times 1 0^{- 6} = 0.347$ y el Ni $0.099$ ; suman 0.446.

c_{C o} = 9.530

µM y

c_{N i} = 17.95

µM.

Resuélvelo en Simuveliq

En la tarjeta Mezcla de varias especies a varias longitudes de onda, «O carga un ejemplo» → «Co²⁺ y Ni²⁺ a 510 y 656 nm (2 especies)». El Resultado da las dos concentraciones; el Planteamiento escribe las dos ecuaciones, y el gráfico de barras muestra el aporte de cada especie a cada absorbancia.

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Ejemplo 3Lecturas en %T

Una mezcla de dicromato y permanganato da 35.2 %T a 440 nm y 21.4 %T a 545 nm (b = 1 cm). ε (L·mol⁻¹·cm⁻¹): Cr₂O₇²⁻ 369 y 11; MnO₄⁻ 95.5 y 2350. Halla las concentraciones en mM.

Solución

Primero a absorbancia: $A_{440} = 2 - lo g 35.2 = 0.4535$ y $A_{545} = 2 - lo g 21.4 = 0.6696$ .
Sistema: $369 c_{1} + 95.5 c_{2} = 0.4535$ y $11 c_{1} + 2350 c_{2} = 0.6696$ , con determinante 866 100.
$c_{1} = 1.157 \times 1 0^{- 3}$ M = 1.157 mM de dicromato y $c_{2} = 2.795 \times 1 0^{- 4}$ M = 0.2795 mM de permanganato. Las ε son pequeñas (cientos, no decenas de miles), por eso hacen falta concentraciones milimolares para leer absorbancias útiles.

Cr₂O₇²⁻ 1.157 mM y MnO₄⁻ 0.2795 mM.

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Ejemplo «Dicromato y permanganato, lecturas en %T»: en el paso 1 el aparato da %T y las concentraciones van en mM; la herramienta convierte cada lectura a A antes de resolver.

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Ejemplo 4ε a partir de patrones

Patrones de 1.0×10⁻⁴ M de A y de B por separado dan, a 450 y 620 nm: A 0.980 y 0.120; B 0.150 y 0.850. Una mezcla da 0.620 y 0.510. Halla las concentraciones.

Solución

Cada patrón da su ε: $ε = A_{s} / (b c_{s})$ , es decir A: 9800 y 1200; B: 1500 y 8500.
Sistema: $9800 c_{A} + 1500 c_{B} = 0.620$ y $1200 c_{A} + 8500 c_{B} = 0.510$ → $c_{A} = 5.528 \times 1 0^{- 5}$ M y $c_{B} = 5.220 \times 1 0^{- 5}$ M.

c_{A} = 55.28

µM y

c_{B} = 52.20

µM.

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Ejemplo «ε a partir de patrones de 1.0×10⁻⁴ M»: en el paso 2 cada especie tiene «La saco de un patrón de esa especie sola», y en el paso 3 se escriben las absorbancias de los patrones en lugar de ε.

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Ejemplo 5Más longitudes de onda que especies

Dos especies P y Q se miden a 4 longitudes de onda (420, 480, 540 y 600 nm), con A = 0.312, 0.318, 0.381 y 0.450. Halla sus concentraciones.

Solución

Cuatro ecuaciones y dos incógnitas: no hay una solución exacta, porque las lecturas tienen error. Mínimos cuadrados busca las $c$ que hacen mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre A medida y calculada; se resuelve $(E^{T} E) c = E^{T} A / b$ .
Resultado: $c_{P} = 30.11$ µM y $c_{Q} = 39.88$ µM. Las A recalculadas difieren de las medidas en menos de 0.003 (error cuadrático medio 0.00157): las lecturas son coherentes.

c_{P} = 30.11

µM y

c_{Q} = 39.88

µM (ajuste por mínimos cuadrados).

Resuélvelo en Simuveliq

Ejemplo «Más longitudes de onda que especies (mínimos cuadrados)»: el resultado lo dice («4 longitudes de onda para 2 incógnitas: ajuste por mínimos cuadrados») y la tabla compara, para cada λ, la A medida con A = b Σ εc y su diferencia.

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Temas relacionados

Disoluciones: concentración, preparación y fuerza iónicaMolaridad, molalidad, porcentajes, ppm y fracción molar; densidad y base de cálculo; preparar y diluir; fuerza iónica y coeficientes de actividad.

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