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Matrices y álgebra lineal

Una matriz es una tabla de números que representa un sistema de ecuaciones o una transformación lineal (girar, estirar, proyectar). Este tema explica las operaciones con matrices, el determinante, la inversa, el rango y la reducción por filas, y los valores y vectores propios, con lo que el álgebra lineal se usa en estructuras, circuitos, vibraciones y control.

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Operaciones

Las matrices del mismo tamaño se suman elemento a elemento. El producto $A B$ existe si $A$ tiene tantas columnas como filas tiene $B$ ; el elemento $(i, j)$ es la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$ :

c_{ij} = k \sum a_{ik} b_{kj}

Un elemento del producto: fila por columna.

El producto no es conmutativo: en general $A B \neq = B A$ . La identidad $I$ (unos en la diagonal) cumple $A I = I A = A$ , y la transpuesta $A^{T}$ cambia filas por columnas, con $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .

Determinante e inversa

El determinante de una matriz cuadrada es un número que dice cuánto escala áreas (o volúmenes) la transformación; si es 0, aplasta el espacio en una dimensión menor y la matriz no tiene inversa. En $2 \times 2$ , $det (a c b d) = a d - b c$ ; en general se desarrolla por cofactores de una fila o columna, o se escalona y se multiplican los pivotes.

(a c b d)^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)

En tamaños mayores la inversa se obtiene escribiendo $[A ∣ I]$ y reduciendo por filas hasta $[I ∣ A^{- 1}]$ . Con ella, el sistema $A x = b$ tiene la solución única $x = A^{- 1} b$ .

Para una matriz cuadrada $n \times n$ , son equivalentes:
$det A \neq = 0$
$A$ tiene inversa
$rango A = n$
las columnas son linealmente independientes
$A x = b$ tiene solución única para todo $b$
0 no es valor propio de $A$

Rango y reducción por filas

La forma escalonada reducida se obtiene con operaciones de fila (las mismas que en los sistemas): cada fila no nula empieza con un 1 (pivote) que es el único no nulo de su columna. El rango es el número de pivotes: cuántas filas (o columnas) son realmente independientes. Las columnas sin pivote corresponden a variables libres.

Valores y vectores propios

Un vector propio $v \neq = 0$ es una dirección que la matriz no gira, solo estira por un factor $λ$ (su valor propio): $A v = λ v$ . Los valores propios son las raíces del polinomio característico:

det (λ I - A) = 0

Acción de

A = (4213)

: los vectores propios conservan su dirección.

Para cada $λ$ , los vectores propios son las soluciones no nulas de $(A - λ I) v = 0$ . Si hay $n$ vectores propios independientes, $A$ es diagonalizable: $A = P D P^{- 1}$ , con los vectores en las columnas de $P$ y los valores en la diagonal de $D$ . Así se calculan potencias ( $A^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ ), se desacoplan sistemas de EDO y se hallan los modos de vibración.

La calculadora trabaja con fracciones exactas y comprueba cada resultado (

A A^{- 1} = I

A v = λ v

). Las casillas aceptan también letras: con un parámetro calcula el determinante y dice para qué valores la matriz no es invertible, o discute el rango.

Errores frecuentes

Multiplicar elemento a elemento en lugar de fila por columna, o suponer que $A B = B A$ .
Olvidar el signo $(- 1)^{i + j}$ de los cofactores.
Escribir $(A B)^{- 1} = A^{- 1} B^{- 1}$ : el orden se invierte, $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ .
Dar el vector cero como vector propio, o creer que toda matriz es diagonalizable.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Producto de matrices

Calcula

A B

con

A = (1324)

B = (0110)

Solución

$c_{11} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$ , $c_{12} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1$ , $c_{21} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4$ , $c_{22} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 3$ .
Multiplicar por $B$ a la derecha intercambia las columnas de $A$ . En cambio $B A = (3142)$ intercambia las filas: $A B \neq = B A$ .

A B = (2413)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, pestaña Matrices, Operación = «A · B · …»: escribe A y B en las casillas y pulsa Calcular. La Respuesta es $(2413)$ .

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Ejemplo 2Determinante 3 × 3

Calcula

det 211031122

Solución

Por cofactores de la primera fila: $23122 - 0 + 11131$ .
$= 2 (6 - 2) + (1 - 3) = 8 - 2 = 6$ . Como no es 0, la matriz es invertible.

det A = 6

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, pestaña Matrices, Operación = «Determinante»: escribe la matriz en las casillas y pulsa Calcular. La Respuesta es $det A = 6$ .

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Ejemplo 3Inversa 2 × 2

Halla la inversa de

A = (2513)

Solución

$det A = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1$ .
$A^{- 1} = \frac{1}{1} (3 - 5 - 1 2)$ . Comprobación: $A A^{- 1} = (6 - 5 15 - 15 - 2 + 2 - 5 + 6) = I$ ✓.

A^{- 1} = (3 - 5 - 1 2)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, pestaña Matrices, Operación = «Inversa»: escribe la matriz en las casillas y pulsa Calcular. La Respuesta es $A^{- 1}$ con esos valores; los pasos lo hacen por Gauss-Jordan sobre $[A ∣ I]$ .

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Ejemplo 4Rango

Halla el rango de

121240361

Solución

$F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ deja la fila 2 en ceros: es el doble de la primera.
$F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ da $(0, - 2, - 2)$ , no nula. Quedan dos pivotes: rango 2, y por tanto $det = 0$ .

rango A = 2

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, pestaña Matrices, Operación = «Rango»: escribe la matriz en las casillas y pulsa Calcular. La Respuesta es $rango A = 2$ .

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Ejemplo 5Valores y vectores propios

Halla los valores y vectores propios de

A = (4213)

Solución

$det (λ I - A) = (λ - 4) (λ - 3) - 2 = λ^{2} - 7 λ + 10 = (λ - 2) (λ - 5)$ .
$λ = 2$ : $(A - 2 I) v = (2211) v = 0$ → $2 v_{1} + v_{2} = 0$ → $v = (1, - 2)$ .
$λ = 5$ : $(- 1 2 1 - 2) v = 0$ → $v_{1} = v_{2}$ → $v = (1, 1)$ . Comprobación: $A (1, 1) = (5, 5)$ ✓.

λ = 2

con

v = (1, - 2)

;

λ = 5

con

v = (1, 1)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, pestaña Matrices, Operación = «Valores y vectores propios»: escribe la matriz en las casillas y pulsa Calcular. La Respuesta es $λ = 2 : (1, - 2), λ = 5 : (1, 1)$ .
Los pasos factorizan el polinomio característico y dan las multiplicidades algebraica y geométrica de cada valor.

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Ejemplo 6Una matriz que no se diagonaliza

¿Es diagonalizable

A = (1011)

Solución

$det (λ I - A) = (λ - 1)^{2}$ : un solo valor propio, $λ = 1$ , doble (multiplicidad algebraica 2).
$(A - I) v = (0010) v = 0$ → $v_{2} = 0$ : solo la dirección $(1, 0)$ (multiplicidad geométrica 1).
Hacen falta 2 vectores propios independientes y solo hay 1: no es diagonalizable (es un cizallamiento).

No es diagonalizable.

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, pestaña Matrices, Operación = «Diagonalizar (A = PDP⁻¹)»: escribe la matriz en las casillas y pulsa Calcular. La Respuesta es «No es diagonalizable (faltan vectores propios)».

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Ejemplo 7Determinante con un parámetro

¿Para qué valores de

k

es invertible

k 11 1 k 1 11 k

Solución

$det = k (k^{2} - 1) - (k - 1) + (1 - k) = k^{3} - 3 k + 2$ .
$k^{3} - 3 k + 2 = (k - 1)^{2} (k + 2)$ , que se anula en $k = 1$ y $k = - 2$ .

det = k^{3} - 3 k + 2

: invertible si

k \neq = 1

k \neq = - 2

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, pestaña Matrices, Operación = «Determinante»: escribe la matriz, con k en la diagonal en las casillas y pulsa Calcular. La Respuesta es $det A = k^{3} - 3 k + 2$ (invertible si $k \neq = - 2, 1$ ).

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