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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que la hacen verdadera. Este tema repasa las ecuaciones lineales y cuadráticas, la factorización, las ecuaciones con fracciones y raíces (y por qué hay que comprobar), las inecuaciones con tabla de signos y los sistemas de ecuaciones lineales por eliminación.

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Ecuaciones lineales y cuadráticas

Una ecuación se transforma en otra equivalente haciendo lo mismo a los dos lados: sumar, restar, multiplicar o dividir por algo distinto de cero. Una lineal ( $a x + b = 0$ ) se despeja directamente: $x = - b / a$ . Una cuadrática $a x^{2} + b x + c = 0$ se resuelve con la fórmula general:

x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}, Δ = b^{2} - 4 a c

El discriminante

Δ

dice cuántas veces corta la parábola al eje

x

Si se conocen las raíces $r_{1}$ y $r_{2}$ , el polinomio se factoriza como $a (x - r_{1}) (x - r_{2})$ . Al revés, si un producto vale cero, alguno de los factores vale cero: por eso factorizar es una forma de resolver.

Fracciones y raíces: comprobar siempre

Con incógnitas en el denominador, se multiplica por el denominador común; pero los valores que lo anulan no pueden ser solución. Con una raíz, se aísla y se elevan al cuadrado los dos lados; elevar al cuadrado puede crear soluciones extrañas (de $a = b$ se pasa a $a^{2} = b^{2}$ , que también cumple $a = - b$ ). Por eso cada candidata se sustituye en la ecuación original.

Inecuaciones

Para resolver $f (x) > 0$ (o $<$ , $\geq$ , $\leq$ ) se pasa todo a un lado, se buscan los puntos críticos (donde $f$ vale 0 o no existe) y se prueba el signo de $f$ en un valor de cada intervalo: es la tabla de signos. Al multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo, cambia de sentido.

Sistemas de ecuaciones lineales

Se escriben como matriz aumentada $[A ∣ b]$ y se aplican operaciones de fila (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de 0, sumarle a una fila un múltiplo de otra) hasta dejarla escalonada: es la eliminación de Gauss (o de Gauss-Jordan si se llega a la identidad). Un sistema puede tener una solución, ninguna o infinitas:

Con dos incógnitas, cada ecuación es una recta y la solución es su intersección.

Al escalonar…	Tipo	Soluciones
un pivote por incógnita	compatible determinado	una
menos pivotes que incógnitas, sin filas $0 = c$	compatible indeterminado	infinitas (variables libres)
una fila $0 = c$ con $c \neq = 0$	incompatible	ninguna

La calculadora resuelve los sistemas por el método que elijas (Gauss-Jordan, Gauss, Cramer, matriz inversa, sustitución, igualación o reducción) y muestra cada operación de fila. En las ecuaciones comprueba cada solución antes de darla.

Errores frecuentes

Dividir entre $x$ para simplificar: se pierde la solución $x = 0$ . Mejor sacar factor común.
Olvidar el $\pm$ al sacar raíz cuadrada: $x^{2} = 9$ da $x = 3$ y $x = - 3$ .
No comprobar las soluciones de una ecuación con raíces o fracciones.
Multiplicar una inecuación por una expresión que puede ser negativa sin cambiar el sentido (mejor usar la tabla de signos).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fórmula general

Resuelve

x^{2} + x - 1 = 0

Solución

$a = 1$ , $b = 1$ , $c = - 1$ : $Δ = 1^{2} - 4 (1) (- 1) = 5 > 0$ , dos raíces reales.
$x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ , es decir, $x \approx 0.618$ y $x \approx - 1.618$ .

x = \frac{- 1 - 5}{2}, x = \frac{- 1 + 5}{2}

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Álgebra, operación Ecuaciones e inecuaciones: escribe x^2+x-1=0 y pulsa Calcular. La Respuesta es $x = \frac{- 5 - 1}{2}, x = \frac{5 - 1}{2}$ .
Los pasos identifican $a$ , $b$ y $c$ , desarrollan el discriminante y sustituyen en la fórmula.

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Ejemplo 2Discriminante negativo

Resuelve

x^{2} + 4 = 0

Solución

$Δ = 0 - 4 (1) (4) = - 16 < 0$ : la parábola $y = x^{2} + 4$ no corta el eje, no hay soluciones reales.
En los números complejos: $x = \pm \frac{16}{2} i = \pm 2 i$ .

Sin soluciones reales; raíces complejas

\pm 2 i

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Álgebra, operación Ecuaciones e inecuaciones: escribe x^2+4=0 y pulsa Calcular. La Respuesta es «Sin soluciones reales», con las raíces complejas $2 i$ y $- 2 i$ .

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Ejemplo 3Factorizar un trinomio

Factoriza

6 x^{2} + x - 2

Solución

Raíces: $Δ = 1 + 48 = 49$ , $x = \frac{- 1 \pm 7}{12}$ → $x = \frac{1}{2}$ y $x = - \frac{2}{3}$ .
$6 (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{2}{3}) = (2 x - 1) (3 x + 2)$ (el 6 se reparte como $2 \cdot 3$ ).
Comprobación: $(2 x - 1) (3 x + 2) = 6 x^{2} + 4 x - 3 x - 2 = 6 x^{2} + x - 2$ . ✓

(2 x - 1) (3 x + 2)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Álgebra, operación Factorizar: escribe 6x^2+x-2 y pulsa Calcular. La Respuesta es $(2 x - 1) (3 x + 2)$ .

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Ejemplo 4Una ecuación con raíz

Resuelve

x + 3 = x - 3

Solución

Se eleva al cuadrado: $x + 3 = (x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$ , es decir, $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ → $x = 1$ o $x = 6$ .
Comprobar: con $x = 6$ , $9 = 3$ y $6 - 3 = 3$ ✓. Con $x = 1$ , $4 = 2$ pero $1 - 3 = - 2$ ✗: es extraña (cumple $x + 3 = - (x - 3)$ ).

x = 6

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Álgebra, operación Ecuaciones e inecuaciones: escribe sqrt(x+3)=x-3 y pulsa Calcular. La Respuesta es $x = 6$ .
Los pasos elevan al cuadrado, resuelven la cuadrática y descartan $x = 1$ al comprobar.

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Ejemplo 5Una ecuación con fracciones

Resuelve

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = 1

Solución

Se multiplica por $x (x + 1)$ , con $x \neq = 0$ y $x \neq = - 1$ : $(x + 1) + x = x^{2} + x$ , es decir, $x^{2} - x - 1 = 0$ .
$x = \frac{1 \pm 5}{2}$ ; ninguna es 0 ni $- 1$ , así que las dos valen.

x = \frac{1 - 5}{2}, x = \frac{1 + 5}{2}

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Álgebra, operación Ecuaciones e inecuaciones: escribe 1/x+1/(x+1)=1 y pulsa Calcular. La Respuesta es $x = \frac{- 5 + 1}{2}, x = \frac{5 + 1}{2}$ .

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Ejemplo 6Inecuación cuadrática

Resuelve

x^{2} - 4 > 0

Solución

Puntos críticos: $x^{2} - 4 = 0$ → $x = - 2$ y $x = 2$ . Dividen la recta en tres intervalos.
Signo: en $x = - 3$ , $5 > 0$ ; en $x = 0$ , $- 4 < 0$ ; en $x = 3$ , $5 > 0$ .
Se cumple fuera de $[- 2, 2]$ ; los extremos no entran porque la desigualdad es estricta.

x \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Álgebra, operación Ecuaciones e inecuaciones: escribe x^2-4>0 y pulsa Calcular. La Respuesta es $x \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ , con la tabla de signos en los pasos.

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Ejemplo 7Sistema de tres ecuaciones

Resuelve

x + y + z = 6

2 x - y + z = 3

x + 2 y - z = 2

Solución

Matriz aumentada y eliminación: $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ da $- 3 y - z = - 9$ ; $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ da $y - 2 z = - 4$ .
De la segunda, $y = 2 z - 4$ ; en la primera: $- 3 (2 z - 4) - z = - 9$ → $- 7 z = - 21$ → $z = 3$ , $y = 2$ .
$x = 6 - y - z = 1$ . Comprobación en la tercera: $1 + 4 - 3 = 2$ ✓.

x = 1, y = 2, z = 3

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Álgebra, operación Sistema de ecuaciones: escribe cada ecuación en su casilla y pulsa Calcular. La Respuesta es $x = 1, y = 2, z = 3$ .
Los pasos muestran la matriz aumentada y cada operación de fila de Gauss-Jordan; el selector de método permite verlo también por Cramer o por sustitución.

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Ejemplo 8Infinitas soluciones

Resuelve

x + y = 2

2 x + 2 y = 4

Solución

$F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ deja la fila $0 = 0$ : la segunda ecuación es la primera multiplicada por 2 (la misma recta).
Queda una ecuación con dos incógnitas: una variable libre. Con $y = t$ : $x = 2 - t$ , para cualquier $t$ real.
Si el lado derecho de la segunda fuera 6 (es decir, $x + y = 3$ ), quedaría $0 = 2$ : rectas paralelas, sistema incompatible.

x = 2 - t

y = t

t \in R

(compatible indeterminado).

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En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Álgebra, operación Sistema de ecuaciones: escribe las dos ecuaciones y pulsa Calcular. La Respuesta es $x = 2 - t, y = t, t \in R$ .
El ejemplo siguiente de la lista, $x + y = 2$ y $x + y = 3$ , da «El sistema no tiene solución (incompatible)».

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