Análisis estructural de pórticos y estructuras por el método de rigidez

Modela pórticos, vigas continuas, marcos a dos aguas, pórticos triarticulados, emparrillados y pórticos espaciales en 2D o 3D. Dibuja nodos y barras, pon empotramientos, articulaciones o rodillos, articulaciones internas y todo tipo de cargas, y obtén al instante las reacciones, los desplazamientos, los diagramas de fuerza axial, cortante y momento flector y la deformada. Incluye una resolución detallada paso a paso del método de rigidez, con las matrices de cada barra.

Qué puedes hacer

Pórticos y marcos planos con 3 grados de libertad por nodo, y estructuras espaciales con 6.
Cargas puntuales, momentos y distribuidas uniformes, trapezoidales, triangulares, parabólicas o parciales.
Articulaciones internas, apoyos empotrados, articulados, rodillos o personalizados.
Diagramas N, V y M (y torsión y flexión en dos planos en 3D) y deformada.
Grado de indeterminación, reacciones con comprobación del equilibrio y fuerzas en los extremos.
Resolución paso a paso en PDF: matrices locales y globales, ensamble y solución.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el método de rigidez?

Es el método matricial de análisis estructural: toma como incógnitas los desplazamientos de los nodos, arma la matriz de rigidez global sumando la de cada barra y resuelve K·d = P. Sirve igual para estructuras isostáticas e hiperestáticas.

¿Qué cargas puedo poner?

Fuerzas y momentos en los nodos, y en las barras cargas puntuales, momentos y cargas distribuidas uniformes, triangulares, trapezoidales, parabólicas o parciales, en dirección de la gravedad, de un eje global o local, y por longitud real o proyectada.

Guía: análisis de pórticos por el método de rigidez

Los pórticos, vigas continuas y estructuras de barras rígidamente unidas suelen ser hiperestáticos: el equilibrio no basta para resolverlos. El método de rigidez (o de los desplazamientos) los resuelve todos de la misma forma, y es la base de los programas de análisis estructural. Esta guía explica sus pasos y los comprueba con una viga empotrada en los dos extremos.

Grado de indeterminación

En el plano, para una estructura de m barras, j nodos y r reacciones:

GI = 3m − c + r − (3j − d)

c son los giros liberados por articulaciones y d los nodos cuyo giro no tiene rigidez (todas las barras articuladas en él). Con GI = 0 la estructura es isostática; con GI > 0, hiperestática; con GI < 0, un mecanismo.

Los pasos del método

Grados de libertad: cada nodo de un pórtico plano puede desplazarse en x, en y y girar. Las incógnitas son esos desplazamientos.
Matriz de rigidez de cada barra: relaciona las fuerzas en sus extremos con sus desplazamientos. En ejes locales tiene términos EA/L (axial), 12EI/L³ y 6EI/L² (cortante) y 4EI/L y 2EI/L (momento).
Transformación y ensamblaje: cada matriz se gira a ejes globales y se suma en la matriz global K.
Cargas en las barras: se sustituyen por sus fuerzas de empotramiento perfecto, aplicadas en los nodos con signo contrario.
Condiciones de apoyo y solución: se eliminan los grados restringidos y se resuelve K·u = F.
Fuerzas en las barras y reacciones: con los desplazamientos, cada barra da sus fuerzas internas (k·u más las de empotramiento), y de ahí los diagramas de axial, cortante y momento.

Ejemplo: viga empotrada–empotrada

Viga de 6 m, perfil IPE 300 de acero (E = 200 GPa, I = 8356 cm⁴, A = 53.8 cm²), empotrada en los dos extremos, con carga uniforme w = 10 kN/m.

Indeterminación: m = 1, j = 2, r = 6: GI = 3 − 0 + 6 − 6 = 3, hiperestática de grado 3.
Rigideces: EI = 200 × 10⁶ kPa · 8356 × 10⁻⁸ m⁴ = 16 712 kN·m². Términos de la matriz: EA/L ≈ 179 333 kN/m; 12EI/L³ ≈ 928.4 kN/m; 6EI/L² ≈ 2785.3 kN; 4EI/L ≈ 11 141 kN·m y 2EI/L ≈ 5570.7 kN·m.
Fuerzas de empotramiento: cortante wL/2 = 30 kN y momento wL²/12 = 30 kN·m en cada extremo.
Solución: como los dos nodos están empotrados, todos los desplazamientos son cero y las reacciones son directamente las fuerzas de empotramiento: 30 kN hacia arriba y momentos de 30 kN·m en cada apoyo.
Diagramas: el momento vale −30 kN·m en los extremos y +wL²/24 = 15 kN·m en el centro; la flecha máxima, en el centro, es wL⁴/(384EI) ≈ 2.0 mm, cinco veces menor que si la viga estuviera simplemente apoyada.

La herramienta da el mismo grado de indeterminación, la misma matriz de rigidez término a término, las mismas fuerzas de empotramiento y las mismas reacciones. En un pórtico con nodos libres, como el ejemplo que abre la herramienta, el paso de solución ya no es trivial, pero el procedimiento es idéntico.

Cómo usar la herramienta

Dibuja los nodos y las barras (en 2D o en 3D), asigna a cada barra su sección y su material, y marca las articulaciones.
Define los apoyos de cada nodo (qué desplazamientos y giros impiden) y las cargas: en los nodos o a lo largo de las barras (uniformes, lineales y otras).
Lee el grado de indeterminación, las reacciones, la deformada, los diagramas de N, V y M de cada barra y el paso a paso del método de rigidez.

Errores frecuentes

Olvidar las fuerzas de empotramiento de las cargas sobre las barras.
Mezclar ejes locales y globales al ensamblar barras inclinadas.
Apoyos insuficientes: una estructura que puede moverse como un mecanismo da una matriz singular.
Unidades inconsistentes entre E, I, A y las longitudes.

Para profundizar

R. C. Hibbeler, Análisis estructural (Pearson); W. McGuire, R. H. Gallagher y R. D. Ziemian, Matrix Structural Analysis (Wiley). Simuveliq no está afiliado a estos autores ni editoriales.

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