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Brazo robótico: cinemática directa e inversa

Un brazo robótico es una cadena de eslabones unidos por motores, desde una base fija hasta una herramienta (el efector). Programarlo exige pasar continuamente de los ángulos de los motores a la posición de la herramienta y al revés: eso es la cinemática directa e inversa. La herramienta Brazo robótico 3D lo hace con la convención de Denavit–Hartenberg, que es la de los cursos de robótica.

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Articulaciones y grados de libertad

Cada articulación de un brazo serial es una revoluta (R, gira) o una prismática (P, se desliza), y aporta un grado de libertad. Para poner la herramienta en cualquier punto del espacio hacen falta 3; para además orientarla como se quiera, 6. Por eso los brazos industriales tienen 6 articulaciones: tres para llevar la muñeca a su sitio y tres (la muñeca esférica) para orientar la herramienta.

Configuración	Articulaciones	Uso típico
Cartesiano (pórtico)	PPP	impresoras 3D, máquinas CNC, paletizado
SCARA	RRPR	montaje rápido sobre una mesa
Antropomórfico	RRR	base, hombro y codo, como un brazo humano
6R con muñeca esférica	RRRRRR	soldadura, pintura, manipulación general

Parámetros de Denavit–Hartenberg

Para encadenar las articulaciones se pone un sistema de ejes en cada una, con el eje $z_{i}$ a lo largo del eje de giro (o de deslizamiento). La convención de Denavit–Hartenberg describe el paso de un sistema al siguiente con solo cuatro números:

Parámetro	Qué mide	Variable si…
$θ_{i}$	giro alrededor de $z_{i - 1}$	la articulación es R
$d_{i}$	desplazamiento a lo largo de $z_{i - 1}$	la articulación es P
$a_{i}$	largo de la normal común (a lo largo del nuevo $x_{i}$ )	—
$α_{i}$	giro entre $z_{i - 1}$ y $z_{i}$ alrededor de $x_{i}$	—

A_{i} = Rot_{z} (θ_{i}) Tras_{z} (d_{i}) Tras_{x} (a_{i}) Rot_{x} (α_{i}) = cos θ_{i} sin θ_{i} 00 - sin θ_{i} cos α_{i} cos θ_{i} cos α_{i} sin α_{i} 0 sin θ_{i} sin α_{i} - cos θ_{i} sin α_{i} cos α_{i} 0 a_{i} cos θ_{i} a_{i} sin θ_{i} d_{i} 1

Es una matriz homogénea de 4 × 4: su bloque 3 × 3 es una rotación y su última columna, una traslación. Multiplicándolas en orden se obtiene la pose de la herramienta respecto de la base:

T_{0}^{n} = A_{1} A_{2} \dots A_{n} = [x_{n} 0 y_{n} 0 z_{n} 0 p 1]

Un error típico es aplicar la matriz con otro orden de giros: hay una variante «modificada» de DH con los parámetros desplazados un índice. El simulador usa la clásica,

Rot_{z} Tras_{z} Tras_{x} Rot_{x}

, y lo escribe bajo la tabla.

Cinemática directa

Con los ángulos de los motores se obtiene la posición de la herramienta: es solo multiplicar matrices. En el brazo planar de dos eslabones, el producto se reduce a sumar los dos vectores:

x = a_{1} cos q_{1} + a_{2} cos (q_{1} + q_{2}) y = a_{1} sin q_{1} + a_{2} sin (q_{1} + q_{2})

Brazo planar 2R del ejemplo 1.

q_{2}

se mide desde la prolongación del primer eslabón.

Cinemática inversa

El problema contrario, qué ángulos ponen la herramienta en un punto dado, es más difícil: no es lineal, puede tener varias soluciones o ninguna. En el 2R se resuelve con la ley de los cosenos:

cos q_{2} = \frac{x ^{2} + y ^{2} - a _{1}^{2} - a _{2}^{2}}{2 a _{1} a _{2}} q_{1} = atan2 (y, x) - atan2 (a_{2} sin q_{2}, a_{1} + a_{2} cos q_{2})

Si $∣ cos q_{2} ∣ > 1$ , el punto está fuera del espacio de trabajo (el anillo entre $∣ a_{1} - a_{2} ∣$ y $a_{1} + a_{2}$ ).
Si está dentro, hay dos soluciones, $\pm q_{2}$ : codo arriba y codo abajo.
Para brazos generales no siempre hay fórmula: se resuelve numéricamente, corrigiendo los ángulos con el jacobiano hasta que el error de posición se anula. El simulador usa Levenberg–Marquardt y parte de la posición actual, así que encuentra la solución más cercana a ella.

Espacio de trabajo del 2R y las dos soluciones para llegar a (0.6, 0.3) m (ejemplo 3).

Jacobiano y singularidades

El jacobiano $J$ relaciona las velocidades de los motores con la de la herramienta: $v = J_{v} \dot{q}$ , $ω = J_{ω} \dot{q}$ . Cada columna se obtiene de la geometría: para una articulación R, $J_{v, i} = z_{i - 1} \times (p - o_{i - 1})$ y $J_{ω, i} = z_{i - 1}$ ; para una P, $J_{v, i} = z_{i - 1}$ .

Cuando sus columnas se vuelven dependientes, el brazo está en una singularidad: hay direcciones en las que la herramienta no puede moverse por más rápido que giren los motores, y cerca de ellas las velocidades articulares necesarias se disparan. En el 2R:

det J = a_{1} a_{2} sin q_{2} = 0 ⟺ q_{2} = 0° (estirado) o 180° (plegado)

La manipulabilidad $w = det (J_{v} J_{v}^{T})$ mide qué tan lejos se está de una singularidad (con menos de tres articulaciones se usa $det (J_{v}^{T} J_{v})$ , que en el 2R es $∣ det J ∣$ ). El jacobiano también da los pares estáticos: para sostener una fuerza $F$ en la herramienta hacen falta $τ = J_{v}^{T} F$ .

Trayectorias

Un robot no salta de una pose a otra: cada articulación sigue una ley de movimiento que arranca y frena suave. Moviendo cada articulación de su valor inicial al final con el polinomio de quinto grado $s (τ) = 10 τ^{3} - 15 τ^{4} + 6 τ^{5}$ ( $τ = t / T$ ), la velocidad y la aceleración empiezan y terminan en cero. Si la herramienta debe seguir una línea o un círculo en el espacio, se resuelve la cinemática inversa en cada instante del camino.

Perfil de quinto grado: posición, velocidad y aceleración (en unidades de la carrera total y de

T

Errores frecuentes

Mezclar la DH clásica con la modificada, o multiplicar las matrices en el orden contrario.
Medir $q_{2}$ desde el eje $x$ en lugar de desde la prolongación del primer eslabón.
Usar $arctan (y / x)$ en lugar de $atan2 (y, x)$ : se pierde el cuadrante.
Quedarse con una sola solución de la cinemática inversa sin mirar los límites de las articulaciones (la otra puede ser la única posible).
Multiplicar el jacobiano por velocidades en °/s: las columnas de las articulaciones R necesitan rad/s.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Cinemática directa y jacobiano de un brazo 2R

Un brazo planar tiene

a_{1} = 0.5

m y

a_{2} = 0.4

m. Con

q_{1} = 30°

q_{2} = 45°

, halla la posición de la herramienta, el jacobiano de posición y su determinante.

Solución

$q_{1} + q_{2} = 75°$ . Posición: $x = 0.5 cos 30° + 0.4 cos 75° = 0.4330 + 0.1035 = 0.5365$ m; $y = 0.5 sin 30° + 0.4 sin 75° = 0.25 + 0.3864 = 0.6364$ m.
Derivando $x$ e $y$ respecto de $q_{1}$ y $q_{2}$ : $J = [- a_{1} s_{1} - a_{2} s_{12} a_{1} c_{1} + a_{2} c_{12} - a_{2} s_{12} a_{2} c_{12}] = [- 0.6364 0.5365 - 0.3864 0.1035]$ .
Fíjate en que la primera columna es $(- y, x)$ : girar la base mueve la herramienta perpendicular a la línea que la une con la base.
$det J = a_{1} a_{2} sin q_{2} = 0.5 \cdot 0.4 \cdot sin 45° = 0.1414$ m²: lejos de una singularidad.

p = (0.5365, 0.6364)

m y

det J = 0.1414

m².

Resuélvelo en Simuveliq

El botón abre el brazo 2R detenido en $q_{1} = 30°$ , $q_{2} = 45°$ (en Ingeniería → Brazo robótico 3D, el ejemplo «Planar 2R» es el mismo brazo, pero en movimiento).
La tarjeta Posición del efector da 0.537, 0.636, 0 m y Manipulabilidad 0.141 m². En «Cinemática directa paso a paso», la matriz $T_{0}^{2}$ tiene la posición (0.5365, 0.6364, 0) en su última columna y el bloque «Jacobiano y velocidades» las dos columnas de arriba.
Cambia $q_{2}$ a 0° en Posición inicial y límites: la manipulabilidad cae a 0 y aparece «cerca de una singularidad».

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Ejemplo 2Denavit–Hartenberg de un brazo antropomórfico

Un brazo RRR tiene esta tabla DH: articulación 1 con

d_{1} = 0.4

m y

α_{1} = 90°

; articulación 2 con

a_{2} = 0.5

m; articulación 3 con

a_{3} = 0.4

m (los demás parámetros, cero). Con

q = (30°, 40°, - 70°)

, halla la posición de la herramienta.

Solución

$A_{1}$ sube la altura del hombro ( $d_{1} = 0.4$ ) y, con $α_{1} = 90°$ , pone el eje $z_{1}$ horizontal: las articulaciones 2 y 3 giran en un plano vertical que la base orienta con $q_{1}$ .
En ese plano trabaja como un 2R: alcance horizontal $r = 0.5 cos 40° + 0.4 cos (40° - 70°) = 0.3830 + 0.3464 = 0.7294$ m y altura $z = 0.4 + 0.5 sin 40° + 0.4 sin (- 30°) = 0.4 + 0.3214 - 0.2 = 0.5214$ m.
La base gira el plano $q_{1} = 30°$ : $x = r cos 30° = 0.6317$ m e $y = r sin 30° = 0.3647$ m. Es la última columna de $T_{0}^{3} = A_{1} A_{2} A_{3}$ .

p = (0.6317, 0.3647, 0.5214)

Resuélvelo en Simuveliq

El botón abre el brazo antropomórfico 3R detenido en esa pose. La tabla Parámetros de Denavit–Hartenberg trae $d_{1}$ , $α_{1}$ , $a_{2}$ y $a_{3}$ .
«Cinemática directa paso a paso» muestra la tabla con los ángulos del instante, cada $A_{i}$ y $T_{0}^{3}$ con la posición (0.6317, 0.3647, 0.5214) en su última columna; la tarjeta Posición del efector da lo mismo.

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Ejemplo 3Cinemática inversa del brazo 2R

Con el brazo del ejemplo 1, ¿qué ángulos ponen la herramienta en

(0.6, 0.3)

Solución

Distancia al punto: $r^{2} = 0.36 + 0.09 = 0.45$ m², dentro del anillo de 0.1 a 0.9 m.
$cos q_{2} = \frac{0.45 - 0.25 - 0.16}{2 \cdot 0.5 \cdot 0.4} = 0.1 \Rightarrow q_{2} = \pm 84.26°$ .
Con $q_{2} = + 84.26°$ : $q_{1} = atan2 (0.3, 0.6) - atan2 (0.398, 0.54) = 26.57° - 36.39° = - 9.83°$ (codo abajo).
Con $q_{2} = - 84.26°$ : $q_{1} = 26.57° + 36.39° = 62.96°$ (codo arriba). Las dos son válidas; el robot elige según de dónde parte y sus límites.

(q_{1}, q_{2}) = (- 9.83°, 84.26°)

(62.96°, - 84.26°)

Resuélvelo en Simuveliq

El botón abre el brazo con el movimiento Punto a punto (espacio articular) hacia (0.6, 0.3, 0), detenido al final del recorrido.
Parte de (30°, 45°), así que el método numérico llega a la solución más cercana: la tabla de «Cinemática directa paso a paso» muestra $q_{1} = - 9.826°$ y $q_{2} = 84.26°$ , y la herramienta en (0.6, 0.3, 0).
Cambia la posición inicial a $q_{2} = - 45°$ y verás que llega por el otro camino, codo arriba.

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