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Mecanismos planos: grados de libertad y cinemática

Un mecanismo es un conjunto de piezas rígidas (eslabones) unidas de forma que, al mover una, las demás se mueven de una manera determinada: un limpiaparabrisas, el pedal de una bicicleta estática, el motor de un auto. Analizarlo es responder cuántas entradas necesita, si la manivela puede dar vueltas completas y dónde está y a qué velocidad se mueve cada punto. Es lo que calcula la herramienta Mecanismos planos para cualquier mecanismo que dibujes.

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Eslabones, pares y grados de libertad

Cada eslabón libre en el plano tiene 3 grados de libertad (dos traslaciones y un giro). Cada unión quita algunos: un pasador (revoluta) o una corredera (prismático) deja solo 1 movimiento relativo y quita 2; un contacto de leva o de dientes deja 2 (rodar y deslizar) y quita 1. La fórmula de Grübler–Kutzbach hace la cuenta:

M = 3 (n - 1) - 2 j_{1} - j_{2}

Pares inferiores (

j_{1}

, quitan 2 GDL) y un par superior (

j_{2}

, quita 1).

$n$ cuenta todos los eslabones, incluida la tierra (el bastidor fijo). $M$ es el número de entradas independientes (motores o actuadores) que necesita el mecanismo: con $M = 1$ basta un motor, con $M = 0$ es una estructura rígida y con $M < 0$ es hiperestática.

Mecanismo	$n$	$j_{1}$	$M$
Cuatro barras	4	4	1
Biela-manivela	4 (con el bloque)	4 (3 R + 1 P)	1
Cinco barras	5	5	2
Seis barras de Watt	6	7	1
Triángulo (3 barras)	3	3	0

Cuidado al contar pasadores: si en un mismo pasador se unen

k

eslabones, cuenta como

k - 1

uniones. La fórmula también falla con geometrías especiales (paralelogramos, eslabones redundantes): por eso el simulador compara la cuenta con el rango de sus ecuaciones.

Condición de Grashof

En un cuatro barras, ¿puede algún eslabón dar vueltas completas? Con $s$ el eslabón más corto, $l$ el más largo y $p$ , $q$ los otros dos, la condición de Grashof dice que al menos un eslabón gira completo si

s + l \leq p + q

Si es Grashof y el más corto es…	Tipo
la manivela (adyacente a la tierra)	manivela-balancín: la manivela gira, el balancín oscila
la tierra	doble manivela: las dos giran
el acoplador	doble balancín: solo el acoplador da vueltas
con $s + l = p + q$	punto de cambio: todos los eslabones se alinean y puede cambiar de rama
No Grashof ( $s + l > p + q$ )	triple balancín: ninguno gira completo

Posición: el lazo vectorial

Cada eslabón es un vector de longitud fija y ángulo variable. Recorriendo el cuatro barras desde $O_{2}$ hasta $O_{4}$ por los dos caminos posibles se obtiene la ecuación del lazo, en forma compleja o en componentes:

a e^{i θ_{2}} + b e^{i θ_{3}} = d + c e^{i θ_{4}} ⟹ {a cos θ_{2} + b cos θ_{3} = d + c cos θ_{4} a sin θ_{2} + b sin θ_{3} = c sin θ_{4}

Conocido $θ_{2}$ (la entrada), quedan dos ecuaciones para $θ_{3}$ y $θ_{4}$ . Geométricamente, la unión D está en la intersección de dos circunferencias: una de radio $b$ alrededor de C y otra de radio $c$ alrededor de $O_{4}$ . Hay dos soluciones, la configuración abierta y la cruzada: el mecanismo se queda en la rama en que se armó.

El cuatro barras de los ejemplos en

θ_{2} = 90°

, con sus ángulos y el ángulo de transmisión μ.

Velocidad y aceleración

Derivando el lazo respecto del tiempo aparecen las velocidades angulares. Es lo mismo que la relación de velocidades relativas de dos puntos de un cuerpo rígido: la velocidad de D es la de C más la del giro del acoplador alrededor de C,

v_{D} = v_{C} + ω_{3} \times r_{D / C} v_{D} = ω_{4} \times r_{D / O_{4}}

Igualando las dos expresiones salen dos ecuaciones lineales en $ω_{3}$ y $ω_{4}$ . Con las aceleraciones pasa lo mismo, pero cada término tiene dos partes: la tangencial $α \times r$ y la normal (centrípeta) $- ω^{2} r$ , que apunta hacia el centro de giro:

a_{D} = a_{C} + α_{3} \times r_{D / C} - ω_{3}^{2} r_{D / C} = α_{4} \times r_{D / O_{4}} - ω_{4}^{2} r_{D / O_{4}}

Cuando un punto desliza sobre un eslabón que gira (la corredera del retorno rápido), aparece además la aceleración de Coriolis,

2 ω \times v_{rel}

. El simulador la incluye: resuelve las ecuaciones de restricción de todo el mecanismo y las deriva dos veces.

Ángulo de transmisión

El ángulo de transmisión $μ$ es el que forman el acoplador y el balancín. Mide qué tan bien empuja el acoplador: con $μ = 90°$ toda su fuerza hace girar al balancín; cerca de 0° o de 180° la mayor parte de la fuerza solo carga el pivote y el mecanismo se traba. Se recomienda mantenerlo entre unos 40° y 140°.

cos μ = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2} - d ^{2} + 2 a d cos θ _{2}}{2 b c}

Los extremos se dan con la manivela alineada con la tierra ( $θ_{2} = 0°$ y $180°$ ).

La biela-manivela

Es el mecanismo del motor de combustión y de los compresores de pistón. Con manivela $r$ , biela $l$ y sin descentrado, la posición del bloque y su velocidad son

x = r cos θ + l^{2} - r^{2} sin^{2} θ \overset{x}{˙} = - r ω sin θ (1 + \frac{r cos θ}{l ^{2} - r ^{2} sin ^{2} θ})

La carrera es $2 r$ y, sin descentrado, la ida y la vuelta duran lo mismo (razón de tiempo 1). Con el eje de la corredera desplazado, una carrera es más lenta que la otra: es el principio del retorno rápido de las limadoras.

Biela-manivela del ejemplo 3 y la velocidad del bloque durante una vuelta: no es una senoide pura, por el término de la biela.

Errores frecuentes

Contar la tierra dos veces, o no contarla, en $n$ .
Contar un pasador con tres eslabones como una sola unión (son dos).
Tomar la otra rama de la solución de posición (configuración cruzada) sin darse cuenta.
Olvidar la aceleración normal $ω^{2} r$ aunque la manivela gire a velocidad constante ( $α_{2} = 0$ no significa aceleración cero).
Usar rpm en lugar de rad/s: $ω = 2 π n /60$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Grados de libertad, Grashof y ángulo de transmisión

Un cuatro barras tiene tierra

d = 100

mm, manivela

a = 40

mm, acoplador

b = 120

mm y balancín

c = 80

mm. Halla sus grados de libertad, su tipo según Grashof y el rango del ángulo de transmisión.

Solución

$n = 4$ (tierra + 3), $j_{1} = 4$ pasadores: $M = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = 1$ . Basta un motor.
$s = 40$ , $l = 120$ , $p + q = 100 + 80 = 180$ . Como $160 \leq 180$ es Grashof, y el más corto es la manivela: manivela-balancín.
Con $θ_{2} = 0°$ : $cos μ = \frac{12 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - ( 100 - 40 ) ^{2}}{2 \cdot 120 \cdot 80} = 0.896$ , $μ = 26.4°$ .
Con $θ_{2} = 180°$ : $cos μ = \frac{12 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - 14 0 ^{2}}{19 200} = 0.0625$ , $μ = 86.4°$ . El mínimo, 26.4°, está por debajo de los 40° recomendados: cerca de $θ_{2} = 0°$ el mecanismo transmite mal.

M = 1

, manivela-balancín (Grashof: 160 ≤ 180) y

μ

entre 26.4° y 86.4°.

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Mecanismos planos, en Ejemplos, «Cargar mecanismo» → Cuatro barras (manivela-balancín).
Las tarjetas dan Grados de libertad M = 1, Tipo (Grashof) «160 ≤ 180 · Manivela-balancín» y Ángulo de transmisión 26.4° – 86.4°, «fuera del rango recomendado». Debajo, el bloque de Grübler–Kutzbach muestra la cuenta de eslabones y pares.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 2Posición, velocidad y aceleración en θ₂ = 90°

El mismo cuatro barras gira a 60 rpm en sentido antihorario y a velocidad constante. Para

θ_{2} = 90°

halla

θ_{3}

θ_{4}

, las velocidades angulares

ω_{3}

ω_{4}

y las aceleraciones angulares

α_{3}

α_{4}

Solución

Posición: C = (0, 40). D cumple $x^{2} + (y - 40)^{2} = 12 0^{2}$ y $(x - 100)^{2} + y^{2} = 8 0^{2}$ ; restando, $y = 2.5 x - 205$ , y la rama abierta da D = (113.54, 78.85) mm. Entonces $θ_{3} = arctan \frac{38.85}{113.54} = 18.89°$ y $θ_{4} = arctan \frac{78.85}{13.54} = 80.26°$ .
Velocidad: $ω_{2} = 2 π \cdot 60/60 = 6.283$ rad/s y $v_{C} = ω_{2} k \times (0, 40) = (- 251.3, 0)$ mm/s. Con $k \times (x, y) = (- y, x)$ , la igualdad $v_{C} + ω_{3} k \times (113.54, 38.85) = ω_{4} k \times (13.54, 78.85)$ da: en $y$ , $113.54 ω_{3} = 13.54 ω_{4}$ ; en $x$ , $- 251.3 - 38.85 ω_{3} = - 78.85 ω_{4}$ .
Resolviendo: $ω_{4} = 3.387$ rad/s y $ω_{3} = 0.4038$ rad/s, los dos antihorarios. $∣ v_{D} ∣ = 80 ω_{4} = 270.9$ mm/s.
Aceleración ( $α_{2} = 0$ ): $a_{C} = - ω_{2}^{2} (0, 40) = (0, - 1579)$ mm/s². La ecuación de aceleraciones, con los términos normales $ω_{3}^{2} = 0.163$ y $ω_{4}^{2} = 11.47$ , da dos ecuaciones lineales: $38.85 α_{3} = 78.85 α_{4} + 136.7$ y $113.54 α_{3} = 13.54 α_{4} + 681.4$ .
Resolviendo: $α_{4} = 1.298$ rad/s² y $α_{3} = 6.155$ rad/s². Aunque la manivela gira a velocidad constante, el acoplador y el balancín aceleran.

θ_{3} = 18.89°

θ_{4} = 80.26°

;

ω_{3} = 0.4038

ω_{4} = 3.387

rad/s;

α_{3} = 6.155

α_{4} = 1.298

rad/s².

Resuélvelo en Simuveliq

El botón abre este cuatro barras detenido en $θ_{2} = 90°$ . Con el del ejemplo 1 también se puede: pausa la animación (❚❚) y mueve el deslizador hasta que diga θ₂ = 90°.
En Valores en la posición actual, la tabla de eslabones da θ, ω y α de cada uno (18.89°, 0.4038, 6.155 para el 3; 80.26°, 3.387, 1.298 para el 4) y la de puntos, D = (113.5, 78.85) con |v| = 270.9 mm/s.
Activa las flechas v y a sobre el dibujo y las gráficas ω y α de «Cinemática y dinámica en un ciclo» para ver cómo cambian a lo largo de la vuelta.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 3Biela-manivela a 60°

Una biela-manivela sin descentrado tiene manivela de 40 mm y biela de 140 mm, y gira a 120 rpm. Para

θ = 60°

halla la posición, la velocidad y la aceleración del bloque.

Solución

$r sin θ = 34.64$ , $r cos θ = 20$ y $14 0^{2} - 34.6 4^{2} = 135.65$ mm: $x = 20 + 135.65 = 155.65$ mm.
$ω = 2 π \cdot 120/60 = 12.566$ rad/s: $\overset{x}{˙} = - 40 \cdot 12.566 \cdot 0.866 (1 + \frac{20}{135.65}) = - 499.5$ mm/s (el bloque vuelve hacia la manivela).
Derivando otra vez con $ω$ constante: $\overset{x}{¨} = ω^{2} [- r cos θ - r ^{2} cos 2 θ - \frac{r ^{4} sin ^{2} θ cos ^{2} θ}{( ) ^{3}}] = 157.9 (- 20 + 5.898 - 0.192) = - 2257$ mm/s².
La biela gira con $ω_{3} = - \frac{r ω cos θ}{l ^{2} - r ^{2} sin ^{2} θ} = - \frac{251.3}{135.65} = - 1.853$ rad/s (horaria).

x = 155.6

mm,

\overset{x}{˙} = - 499.5

mm/s,

\overset{x}{¨} = - 2257

mm/s² y

ω_{3} = - 1.853

rad/s; carrera de 80 mm.

Resuélvelo en Simuveliq

El botón abre la Biela-manivela del menú de ejemplos detenida en θ₂ = 60°.
La tabla de correderas da ṡ = −499.5 mm/s y s̈ = −2257 mm/s², la de puntos C = (155.6, 0), y la de eslabones ω = −1.853 rad/s para la biela. La tarjeta Razón de tiempo dice 1 con carrera = 80 mm.

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Ejemplo 4Cinco barras: dos entradas

Un mecanismo de cinco barras tiene dos manivelas articuladas a tierra y dos eslabones unidos entre sí en B. ¿Cuántas entradas necesita para que su movimiento quede determinado?

Solución

$n = 5$ (tierra + 4 eslabones) y $j_{1} = 5$ pasadores (los dos pivotes, las dos uniones manivela–eslabón y B).
$M = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 5 = 2$ : con un solo motor, el punto B no queda determinado (el mecanismo «se cae»).
Con dos motores, uno en cada manivela, B describe una curva que depende de las dos velocidades: así funcionan muchos robots planos y plotters paralelos.

M = 2

: hacen falta dos entradas.

Resuélvelo en Simuveliq

En Ejemplos, «Cargar mecanismo» → Cinco barras (2 entradas).
La tarjeta Grados de libertad da M = 2 y el panel Entradas (motores y actuadores) tiene dos motores. Borra uno: el simulador avisa de que el mecanismo necesita 2 entradas y deja de moverlo.

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Estática y armadurasBarras de dos fuerzas, determinación, método de nodos, barras de fuerza cero, método de secciones y armaduras espaciales.

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