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Estática y armaduras

Una armadura es un conjunto de barras rectas unidas en sus extremos formando triángulos, la figura que no se deforma sin que cambie la longitud de sus lados. Se usa en puentes, techos y torres porque lleva cargas grandes con poco material. Analizarla es hallar las reacciones y la fuerza de cada barra, y para eso basta el equilibrio: es el primer gran tema de la estática.

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Hipótesis y barras de dos fuerzas

El modelo de armadura ideal supone que las barras se unen con pasadores sin fricción, que las cargas actúan solo en los nodos y que el peso de las barras es despreciable (o se reparte a los nodos). Con eso cada barra recibe fuerzas solo en sus dos extremos y, para estar en equilibrio, esas dos fuerzas tienen que ser iguales, opuestas y a lo largo de la barra: es un elemento de dos fuerzas, en tensión o en compresión.

Convenio de signos: una barra en tensión tira de sus nodos; en compresión, los empuja.

Truco que evita errores de signo: supón todas las barras en tensión (flechas saliendo del nodo). Las que salgan negativas están en compresión. Es lo que hace el simulador.

Equilibrio y determinación

Cada nodo es un punto en equilibrio: en el plano da dos ecuaciones ( $\sum F_{x} = 0$ , $\sum F_{y} = 0$ ), en el espacio tres. Comparando las incógnitas (las $m$ fuerzas de barra y las $r$ reacciones) con las ecuaciones ( $j$ nodos) se sabe, antes de calcular, si la estática alcanza:

Plana	Espacial	Armadura
$m + r = 2 j$	$m + r = 3 j$	isostática: se resuelve solo con equilibrio
$m + r > 2 j$	$m + r > 3 j$	hiperestática: hacen falta las deformaciones (análisis estructural)
$m + r < 2 j$	$m + r < 3 j$	inestable: es un mecanismo y se mueve

La cuenta es necesaria pero no suficiente: una armadura con los números justos también puede ser inestable si sus barras o apoyos están mal dispuestos (por ejemplo, todos los rodillos paralelos). Los apoyos aportan lo que impiden: un articulado 2 reacciones, un rodillo 1; en el espacio, una rótula 3.

Método de nodos

Halla las reacciones con el equilibrio de toda la armadura (momentos respecto de un apoyo primero), si se puede.
Empieza por un nodo con como mucho dos incógnitas y plantea $\sum F_{x} = 0$ y $\sum F_{y} = 0$ , con todas las barras en tensión.
Las componentes salen de la geometría: una barra que sube 4 en 3 de avance tiene cosenos directores $3/5$ y $4/5$ . No hace falta calcular ángulos.
Pasa al nodo vecino usando las fuerzas ya halladas, y sigue hasta terminar. Las ecuaciones que sobran al final son una comprobación.

Fuerzas del ejemplo 1 (T = tensión, C = compresión).

Barras de fuerza cero

Antes de empezar conviene buscar las barras que, con esa carga, no trabajan. Dos reglas las encuentran por simple inspección:

Las dos reglas de las barras de fuerza cero.

Si en un nodo solo hay dos barras no alineadas y ninguna carga ni apoyo, las dos son de fuerza cero (cada una tendría una componente que nadie equilibra).
Si en un nodo hay tres barras, dos de ellas alineadas, y ninguna carga ni apoyo, la tercera es de fuerza cero (y las dos alineadas llevan la misma fuerza).

Que una barra no trabaje con esta carga no significa que sobre: estabiliza la armadura, acorta la longitud de pandeo de las barras comprimidas y trabaja con otras cargas (viento, una carga móvil).

Método de secciones

Para la fuerza de una barra en medio de una armadura grande, recorrer nodo por nodo es largo. El método de secciones va directo: se corta la armadura por la barra buscada y, como mucho, otras dos, y se plantea el equilibrio de una de las partes, que es un cuerpo rígido con tres ecuaciones.

Toma momentos respecto del punto donde se cruzan las otras dos barras cortadas: quedan fuera y la ecuación da directamente la fuerza buscada.
Si las otras dos son paralelas (no se cruzan), usa $\sum F$ en la dirección perpendicular a ellas.
Elige la parte con menos cargas: cualquiera de las dos da el mismo resultado.

Corte del ejemplo 2 por las barras IJ, ID y CD. ID y CD se cruzan en O = D: los momentos respecto de ese punto dan F_IJ.

Armaduras espaciales

En tres dimensiones el tetraedro hace el papel del triángulo. Cada nodo da tres ecuaciones, y la fuerza de cada barra se escribe con su vector unitario: para la barra de D a A, $u_{D A} = \frac{r _{A} - r _{D}}{∣ r _{A} - r _{D} ∣}$ . El equilibrio del nodo D es entonces

i \sum F_{i} u_{i} + P = 0 (3 ecuaciones)

En el espacio casi siempre se usa el método de nodos: un corte deja hasta seis incógnitas.

Errores frecuentes

Dibujar las flechas de una barra en el nodo con el sentido «de la carga» en lugar de suponer tensión: los signos se mezclan.
Empezar por un nodo con tres incógnitas en el plano: no se puede despejar.
Usar la longitud de la barra en lugar de sus componentes al descomponer la fuerza.
En el método de secciones, cortar cuatro barras desconocidas, o tomar momentos respecto de un punto que no elimina ninguna.
Quitar las barras de fuerza cero del diseño.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Método de nodos con una carga inclinada

La armadura ABCD está articulada en A y apoyada en un rodillo en C. En D actúa una carga de componentes 6 kN hacia la derecha y 8 kN hacia abajo, y en B 12 kN hacia abajo. Halla las reacciones y la fuerza de cada barra.

Solución

Determinación: $m + r = 5 + 3 = 8 = 2 \cdot 4$ , isostática.
Momentos en A (antihorario +): $6 C_{y} - 6 \cdot 4 - 8 \cdot 3 - 12 \cdot 3 = 0 \Rightarrow C_{y} = 14$ kN. Fuerzas: $A_{x} = - 6$ kN (hacia la izquierda) y $A_{y} = 20 - 14 = 6$ kN.
Nodo A: $\sum F_{y}$ : $6 + \frac{4}{5} F_{A D} = 0 \Rightarrow F_{A D} = - 7.5$ kN (C). $\sum F_{x}$ : $- 6 + F_{A B} + \frac{3}{5} (- 7.5) = 0 \Rightarrow F_{A B} = 10.5$ kN (T).
Nodo C: $\sum F_{y}$ : $14 + \frac{4}{5} F_{D C} = 0 \Rightarrow F_{D C} = - 17.5$ kN (C). $\sum F_{x}$ : $- F_{BC} - \frac{3}{5} (- 17.5) = 0 \Rightarrow F_{BC} = 10.5$ kN (T).
Nodo B: $\sum F_{y}$ : $F_{B D} - 12 = 0 \Rightarrow F_{B D} = 12$ kN (T). Comprobación en D: $\sum F_{x} = 6 - \frac{3}{5} (- 7.5) + \frac{3}{5} (- 17.5) = 0$ ✓.

A_{x} = - 6

A_{y} = 6

C_{y} = 14

kN; AB = BC = 10.5 T, AD = 7.5 C, DC = 17.5 C y BD = 12 T (kN).

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Estática y armaduras, tipo de armadura 2D · plana; en Ejemplos, «Cargar armadura» → Armadura simple con carga inclinada.
El dibujo colorea cada barra (tensión, compresión) con su fuerza; las tarjetas dan Determinación («Isostática»), Mayor tensión 12 kN (BD) y Mayor compresión 17.5 kN (DC).
El «Paso a paso» escribe las reacciones y el método de nodos (apartado 4) con estas mismas ecuaciones, y la tabla Fuerzas en las barras y reacciones resume todo.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 2Método de secciones en un puente Pratt

Un puente Pratt de 6 paneles de 3 m y 4 m de altura soporta 20 kN en cada nodo interior del cordón inferior (B a F), articulado en A y con rodillo en G. Halla las fuerzas en IJ, ID y CD con un solo corte.

Solución

Por simetría, $A_{y} = G_{y} = \frac{5 \cdot 20}{2} = 50$ kN.
Corte por IJ, ID y CD; parte izquierda (nodos A, B, C, H, I), con las tres barras en tensión.
Momentos en D (9, 0), donde se cruzan ID y CD (horario +): $50 \cdot 9 - 20 \cdot 6 - 20 \cdot 3 + 4 F_{I J} = 0 \Rightarrow F_{I J} = - 67.5$ kN (C).
Momentos en I (6, 4), donde se cruzan IJ e ID (horario +): $50 \cdot 6 - 20 \cdot 3 - 4 F_{C D} = 0 \Rightarrow F_{C D} = 60$ kN (T).
Fuerzas verticales: $50 - 20 - 20 - \frac{4}{5} F_{I D} = 0 \Rightarrow F_{I D} = 12.5$ kN (T). En un Pratt las diagonales trabajan a tensión y los montantes a compresión.
De paso: en J llegan IJ y JK alineadas y el montante DJ, sin carga, así que DJ es de fuerza cero (regla 2).

F_{I J} = 67.5

kN (C),

F_{C D} = 60

kN (T) y

F_{I D} = 12.5

kN (T); DJ = 0.

Resuélvelo en Simuveliq

En Ejemplos, «Cargar armadura» → Puente Pratt (6 paneles).
Con la herramienta Mover, haz clic en la barra IJ: el paso «5. Método de secciones · barra IJ» dibuja el corte, toma momentos respecto de O = (9, 0) y da $F_{I J} = - 67.5$ kN, y también $F_{C D}$ y $F_{I D}$ .
El paso «3. Barras de fuerza cero» señala DJ, y la tarjeta Barras de fuerza cero la cuenta.

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Ejemplo 3Armadura en voladizo: barras de fuerza cero

La armadura en voladizo está articulada a una pared en A y B y soporta 15 kN en F y 10 kN en D. Encuentra las barras de fuerza cero y las fuerzas en CF y DF.

Solución

Determinación: 8 barras y 4 reacciones (dos articulados) frente a $2 \cdot 6 = 12$ ecuaciones: isostática, aunque las reacciones no salen solo con el equilibrio global (hay 4) y se obtienen al final.
Nodo E: solo llegan CE (horizontal) y EF (vertical), sin carga ni apoyo: por la regla 1, $F_{CE} = F_{EF} = 0$ .
Nodo F, con EF = 0: $\sum F_{y}$ : $\frac{1}{2} F_{CF} - 15 = 0 \Rightarrow F_{CF} = 21.21$ kN (T). $\sum F_{x}$ : $- F_{D F} - \frac{1}{2} F_{CF} = 0 \Rightarrow F_{D F} = - 15$ kN (C).
Siguiendo por C, D, B y A salen el resto: BC = 15 T, CD = 15 C, BD = 35.36 T y AD = 40 C.

CE y EF son de fuerza cero; CF = 21.21 kN (T) y DF = 15 kN (C).

Resuélvelo en Simuveliq

En Ejemplos, «Cargar armadura» → Armadura en voladizo (pared).
Las barras CE y EF aparecen como fuerza cero en el dibujo; el paso «3. Barras de fuerza cero» explica la regla, y la tabla las marca con ★.
El paso «2» avisa de que con 4 reacciones el equilibrio global no alcanza y que salen con el método de nodos.

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Fuerzas del ejemplo 3 en kN: las líneas a trazos son las barras de fuerza cero.

Ejemplo 4Trípode: armadura espacial

Un trípode tiene sus patas apoyadas en rótulas en A (0, 0, 0), B (4, 0, 0) y C (2, 3, 0) m, y la cabeza en D (2, 1, 4) m. En D actúa una carga de 5 kN en

+ x

y 30 kN hacia abajo. Halla la fuerza en cada pata.

Solución

Vectores unitarios desde D: $u_{D A} = \frac{( - 2 , - 1 , - 4 )}{21}$ , $u_{D B} = \frac{( 2 , - 1 , - 4 )}{21}$ , $u_{D C} = \frac{( 0 , 2 , - 4 )}{20}$ .
Ecuaciones en D: $x$ : $\frac{2 ( F _{B} - F _{A} )}{21} + 5 = 0$ ; $y$ : $- \frac{F _{A} + F _{B}}{21} + \frac{2 F _{C}}{20} = 0$ ; $z$ : $- \frac{4 ( F _{A} + F _{B} )}{21} - \frac{4 F _{C}}{20} - 30 = 0$ .
Sustituyendo la ecuación $y$ en la $z$ : $- \frac{12 F _{C}}{20} = 30 \Rightarrow F_{C} = - 11.18$ kN. Luego $F_{A} + F_{B} = - 22.91$ y $F_{B} - F_{A} = - 11.46$ .
$F_{A} = - 5.728$ kN y $F_{B} = - 17.18$ kN: las tres patas en compresión, la más cargada la que está del lado hacia el que empuja la carga horizontal.

AD = 5.728 kN (C), BD = 17.18 kN (C) y CD = 11.18 kN (C).

Resuélvelo en Simuveliq

Tipo de armadura 3D · espacial; en Ejemplos, «Cargar armadura» → Trípode (3 rótulas).
La tarjeta Determinación muestra $m + r = 3 + 9 = 12 = 3 j$ , y Mayor compresión 17.18 kN en BD. Gira la vista arrastrando y selecciona cada pata para ver su fuerza.

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