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Columnas: dos ejes, AISC y carga excéntrica

El tema Pandeo explica la carga de Euler, la longitud efectiva y la fórmula de Johnson con un solo eje. Una columna real tiene dos ejes con rigidez distinta y puede estar arriostrada en uno solo, se diseña con una norma (aquí AISC 360) y casi nunca recibe la carga exactamente en el centroide. Este tema cubre esas tres cosas, que son las que resuelve la herramienta Columnas.

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Dos ejes, dos longitudes efectivas

Una sección tiene un momento de inercia respecto de cada eje principal: en un perfil I, $I_{x}$ (eje fuerte, el de la altura) es mucho mayor que $I_{y}$ (eje débil). La columna puede pandear alrededor de cualquiera de los dos, cada uno con sus propios apoyos y arriostramientos, así que se calcula la esbeltez de los dos y manda la mayor:

\frac{K _{x} L _{x}}{r _{x}} y \frac{K _{y} L _{y}}{r _{y}} r = \frac{I}{A}

Una riostra (una viga, un muro o un tirante que impide el desplazamiento lateral a cierta altura) divide la longitud de pandeo en ese plano. Como el eje débil suele mandar, en los edificios se arriostra justo ese eje: con una riostra a media altura su longitud efectiva se reduce a la mitad y su carga de Euler se multiplica por cuatro.

Perfil I articulado en los dos extremos, con una riostra a media altura solo en el eje débil (ejemplo 1).

La riostra solo sirve si es rígida en esa dirección y está unida a algo que no se mueve. Una riostra que impide el giro alrededor de x–x no ayuda en nada al pandeo alrededor de y–y: cada eje se revisa con lo que lo sujeta a él.

Columnas de acero según AISC 360

Las fórmulas de Euler y Johnson suponen una columna perfecta. Los perfiles reales tienen pequeñas curvaturas iniciales y esfuerzos residuales del laminado y la soldadura, que hacen que fluyan antes. La especificación AISC 360 (capítulo E) los incluye con una curva calibrada con ensayos:

F_{e} = \frac{π ^{2} E}{( K L / r ) ^{2}} F_{cr} = ⎩ ⎨ ⎧ 0.65 8^{F_{y} / F_{e}} F_{y} 0.877 F_{e} \frac{K L}{r} \leq 4.71 \frac{E}{F _{y}} \frac{K L}{r} > 4.71 \frac{E}{F _{y}}

La resistencia nominal es $P_{n} = F_{cr} A$ . Para diseñar no se usa un solo factor de seguridad sino uno de estos dos formatos:

Formato	Condición	Carga que se usa
LRFD	$ϕ P_{n} \geq P_{u}$ , $ϕ = 0.90$	factorizada $P_{u}$ (por ejemplo 1.2D + 1.6L)
ASD	$P_{n} /Ω \geq P_{a}$ , $Ω = 1.67$	de servicio $P_{a}$

Curvas de columna del acero A36. AISC queda por debajo de Johnson en todo el rango: es el precio de las imperfecciones reales.

En la zona de columnas largas, AISC toma el 87.7 % de Euler ( $0.877 F_{e}$ ) para cubrir la curvatura inicial. En la de columnas cortas, la exponencial cae algo más rápido que la parábola de Johnson. Las dos curvas se usan en clase, pero para acero estructural lo que pide una norma es la de AISC.

Carga excéntrica: la fórmula de la secante

Si la carga está desplazada una distancia $e$ del centroide, la columna ya no está «recta hasta que pandea»: el momento $P e$ la dobla desde el primer momento, y esa deflexión aumenta el brazo de la carga. Resolviendo la ecuación de la elástica con ese momento, el esfuerzo máximo (en el centro de una columna articulada) es

σ_{m \overset{a}{ˊ} x} = \frac{P}{A} [1 + \frac{e c}{r ^{2}} sec (\frac{L _{e}}{2 r} \frac{P}{E A})]

$\frac{ec}{r ^{2}}$ es la razón de excentricidad: con $e = 0$ queda $σ = P / A$ .
La secante crece sin límite cuando $P$ se acerca a la carga de Euler: el pandeo sigue siendo el tope.
La relación entre $P$ y $σ_{m \overset{a}{ˊ} x}$ no es lineal. Por eso el factor de seguridad se aplica a la carga: se busca la carga $P_{y}$ que lleva $σ_{m \overset{a}{ˊ} x}$ a $F_{y}$ y se compara con la real, $n = P_{y} / P$ .

Barra del ejemplo 3: se dobla desde el principio, y su esfuerzo máximo crece cada vez más rápido con la carga, hasta la asíntota de Euler (269 kN, línea punteada).

Modos superiores y dónde poner una riostra

Además del primer modo, una columna tiene otros: el segundo es una onda completa (dos semiondas) con carga cuatro veces mayor, el tercero tres semiondas con nueve veces. Una riostra en el punto donde el segundo modo no se mueve (el centro, en una columna articulada) elimina el primer modo y obliga a la columna a pandear en el segundo. Ponerla en otro sitio ayuda menos: la semionda más larga manda.

La herramienta dibuja los tres primeros modos de cada eje (botones «Modo»), con los puntos de inflexión y la longitud de cada semionda.

Errores frecuentes

Revisar solo el eje débil cuando ese eje está arriostrado: entonces puede mandar el fuerte.
Comparar $P_{u}$ (factorizada) con $P_{n} /Ω$ , o $P_{a}$ (de servicio) con $ϕ P_{n}$ : cada formato va con su carga.
Aplicar el factor de seguridad al esfuerzo en la fórmula de la secante: con carga excéntrica la respuesta no es lineal.
Medir la excentricidad respecto del borde y no del centroide.
Usar el radio de giro de un eje con la longitud efectiva del otro.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Perfil IPE 300 arriostrado en el eje débil (AISC)

Una columna IPE 300 de acero S275 (

E = 210

GPa,

F_{y} = 275

MPa) mide 6 m y está articulada en los dos extremos. En el eje débil tiene una riostra a media altura. Con

A = 5381

mm²,

I_{x} = 8356 \times 1 0^{4}

mm⁴ e

I_{y} = 603.8 \times 1 0^{4}

mm⁴, halla la resistencia de diseño LRFD y la utilización para

P_{u} = 250

kN.

Solución

Radios de giro: $r_{x} = 8356 \times 1 0^{4} /5381 = 124.6$ mm y $r_{y} = 603.8 \times 1 0^{4} /5381 = 33.50$ mm.
Esbelteces: eje fuerte $6000/124.6 = 48.15$ ; eje débil, con la riostra, $3000/33.50 = 89.56$ . Manda el débil.
$F_{e} = \frac{π ^{2} \cdot 210 000}{89.5 6 ^{2}} = 258.4$ MPa. Como $89.56 \leq 4.71 210 000/275 = 130.2$ : $F_{cr} = 0.65 8^{275/258.4} \cdot 275 = 176.1$ MPa.
$P_{n} = 176.1 \cdot 5381 = 947.9$ kN y $ϕ P_{n} = 0.9 \cdot 947.9 = 853.1$ kN. Utilización: $250/853.1 = 0.293$ .
Sin la riostra, $K L / r_{y} = 6000/33.50 = 179$ $F_{cr}$ pasaría a $0.877 F_{e} = 56.7$ MPa, casi un tercio: la riostra es lo que hace útil al perfil.

Gobierna el eje y–y:

ϕ P_{n} = 853.1

kN y utilización

0.293

(cumple).

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Columnas, en Ejemplos, «Cargar columna» → Perfil IPE arriostrado en el eje débil (AISC). Revisa lo que trae: IPE 300, S275, 6 m, articulada abajo y arriba en los dos ejes y una Riostra a 3 m solo en el eje y.
Con el método AISC 360 (LRFD / ASD), las tarjetas dan Resistencia de diseño (LRFD) 853.1 kN (eje y–y) y Utilización 0.293. La tabla «Resultados por eje» muestra las dos esbelteces, y la nota de abajo, $P_{n} /Ω = 567.6$ kN para ASD.
Borra la riostra y mira cómo cambian la forma de pandeo del eje y–y y la resistencia.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 2Cajón de acero: Johnson frente a AISC

Un cajón de 100 × 150 × 6 mm de acero A36 (

E = 200

GPa,

F_{y} = 250

MPa), de 4 m y articulado en los dos extremos, soporta 200 kN. Halla la carga crítica con Johnson, el factor de seguridad y la resistencia según AISC.

Solución

$A = 100 \cdot 150 - 88 \cdot 138 = 2856$ mm². Eje débil (el ancho de 100): $I_{y} = \frac{150 \cdot 10 0 ^{3} - 138 \cdot 8 8 ^{3}}{12} = 4.663 \times 1 0^{6}$ mm⁴ y $r_{y} = 40.41$ mm.
$K L / r_{y} = 4000/40.41 = 98.99 < C_{c} = 125.7$ : Johnson. $σ_{cr} = 250 - \frac{1}{200 000} (\frac{250 \cdot 98.99}{2 π})^{2} = 172.4$ MPa.
$P_{cr} = 172.4 \cdot 2856 = 492.5$ kN y $n = 492.5/200 = 2.46$ . (El eje fuerte, con $K L / r = 71.85$ , daría 597.3 kN.)
AISC: $F_{e} = \frac{π ^{2} \cdot 200 000}{98.9 9 ^{2}} = 201.4$ MPa, $F_{cr} = 0.65 8^{250/201.4} \cdot 250 = 148.7$ MPa, $P_{n} = 424.7$ kN (un 14 % menos que Johnson) y $ϕ P_{n} = 382.2$ kN.

Johnson:

P_{cr} = 492.5

kN y

n = 2.46

(eje y–y). AISC:

P_{n} = 424.7

kN,

ϕ P_{n} = 382.2

kN.

Resuélvelo en Simuveliq

En Ejemplos, «Cargar columna» → Cajón articulado en ambos extremos.
Con el método «Euler + Johnson», las tarjetas dan Carga crítica 492.5 kN (eje y–y) y Factor de seguridad 2.46.
La tabla «Resultados por eje» trae a la vez Euler, Johnson y AISC de cada eje: en y–y, 575.3, 492.5 y 424.7 kN (φ 382.2). Cambia el método a AISC 360 para ver su resolución paso a paso.

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Ejemplo 3Barra con carga excéntrica (secante)

Una barra maciza de 50 mm de diámetro y 1.5 m, articulada en los dos extremos y de acero A36, recibe 60 kN con una excentricidad de 10 mm. Halla el esfuerzo máximo, la carga que produce fluencia y el factor de seguridad.

Solución

$A = π \cdot 2 5^{2} = 1963.5$ mm², $r = d /4 = 12.5$ mm y $c = 25$ mm: razón de excentricidad $\frac{ec}{r ^{2}} = \frac{10 \cdot 25}{12. 5 ^{2}} = 1.6$ .
Argumento de la secante: $\frac{1500}{2 \cdot 12.5} \frac{60 000}{200 000 \cdot 1963.5} = 0.7417$ rad, $sec 0.7417 = 1.356$ .
$σ_{m \overset{a}{ˊ} x} = \frac{60 000}{1963.5} (1 + 1.6 \cdot 1.356) = 30.56 \cdot 3.170 = 96.87$ MPa.
La carga que lleva $σ_{m \overset{a}{ˊ} x}$ a 250 MPa no tiene fórmula cerrada: se busca por tanteo (o bisección) y sale $P_{y} = 118.0$ kN. Factor de seguridad: $n = 118.0/60 = 1.97$ .
Si se hubiera dividido $250/96.87 = 2.58$ , el factor de seguridad saldría un 30 % mayor del real: por eso se aplica a la carga.

σ_{m \overset{a}{ˊ} x} = 96.87

MPa,

P_{y} = 118.0

kN y

n = 1.97

Resuélvelo en Simuveliq

En Ejemplos, «Cargar columna» → Barra con carga excéntrica (secante): método «Secante (carga excéntrica)» y Excentricidad e = 10 mm en el eje x.
Las tarjetas dan Carga que causa fluencia 118 kN y Factor de seguridad 1.97; la resolución paso a paso muestra el σ_máx de 96.87 MPa con la carga real.

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