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Ejes de transmisión y fatiga

Un eje de transmisión lleva par de un elemento a otro (de una polea a un engrane, de un motor a una bomba) y, además, soporta las fuerzas de esos elementos, que lo flexionan. Como gira, cada punto de su superficie pasa de tensión a compresión en cada vuelta: después de millones de ciclos puede romperse con esfuerzos muy por debajo de la fluencia. Diseñar un eje es, sobre todo, diseñarlo a fatiga, y es lo que hace la herramienta Ejes.

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Cargas en dos planos

Engranes y poleas empujan el eje en direcciones distintas: un engrane recto da una fuerza tangencial y otra radial ( $W_{r} = W_{t} tan ϕ$ ), una polea la suma de las tensiones de la correa. Se descompone todo en dos planos perpendiculares ( $x y$ y $x z$ ), se hallan las reacciones de los cojinetes y los diagramas de momento en cada plano, y en cada sección se combinan:

M = M_{x y}^{2} + M_{x z}^{2} T = par entre la entrada y la salida

El momento resultante sirve porque el eje es redondo: cualquier dirección es un eje principal. El par solo existe entre el elemento que lo recibe y el que lo entrega; fuera de ese tramo vale cero.

Esfuerzos que se repiten

Un momento fijo en el espacio, sobre un eje que gira, produce en cada punto un esfuerzo que alterna entre $+ σ$ y $- σ$ : es completamente invertido, con amplitud $σ_{a}$ y media nula. Un par constante produce un cortante constante, con media $τ_{m}$ y sin amplitud. En la superficie de un eje macizo de diámetro $d$ :

σ_{a} = K_{f} \frac{32 M _{a}}{π d ^{3}} τ_{m} = K_{f s} \frac{16 T _{m}}{π d ^{3}} σ_{a}^{'} = σ_{a}^{2} + 3 τ_{a}^{2} σ_{m}^{'} = σ_{m}^{2} + 3 τ_{m}^{2}

Un punto de la superficie pasa por tensión y compresión en cada vuelta; el par constante da un cortante que no cambia.

$σ_{a}^{'}$ y $σ_{m}^{'}$ son los esfuerzos de von Mises de la parte alternante y de la media: así se combinan flexión y torsión en un solo par de números.

Límite de resistencia a la fatiga

Una probeta de acero pulida que gira resiste indefinidamente si su esfuerzo no pasa de $S_{e}^{'} \approx 0.5 S_{u t}$ (con un tope de 700 MPa para aceros muy resistentes). Un eje real resiste menos: su superficie es más rugosa, es más grande, puede estar caliente y se quiere una probabilidad de falla baja. Los factores de Marin corrigen el valor de la probeta:

S_{e} = k_{a} k_{b} k_{c} k_{d} k_{e} S_{e}^{'}

Factor	Qué corrige	Valor usado
$k_{a}$	acabado superficial	$a S_{u t}^{b}$ ; maquinado: $a = 4.51$ , $b = - 0.265$ (MPa)
$k_{b}$	tamaño	$1.24 d^{- 0.107}$ (2.79 ≤ d ≤ 51 mm)
$k_{c}$	tipo de carga	1 en flexión (los esfuerzos ya combinados con von Mises)
$k_{d}$	temperatura	1 hasta unos 20 °C; baja a temperaturas altas
$k_{e}$	confiabilidad	1 (50 %), 0.897 (90 %), 0.814 (99 %), 0.753 (99.9 %)

Como

k_{b}

depende del diámetro, que es justamente lo que se busca, el diseño es iterativo: se supone un diámetro, se calcula

S_{e}

y se corrige. El simulador lo hace solo.

Concentradores de esfuerzo

Los cambios de diámetro (hombros), los cuñeros y las ranuras para anillos de retención elevan el esfuerzo local. El factor geométrico $K_{t}$ sale de gráficas de concentradores de esfuerzo según la forma; pero en fatiga el material «nota» solo una parte del pico, según su sensibilidad a la muesca $q$ (0 a 1, mayor en aceros duros y radios grandes):

K_{f} = 1 + q (K_{t} - 1) q = \frac{1}{1 + a / r} (Neuber)

En el radio del hombro el esfuerzo llega a

K_{t}

veces el nominal. Un radio mayor (r/d más grande) baja

K_{t}

Concentrador (primera estimación)	$K_{t}$ flexión,bending	$K_{t s}$ torsión,torsion
cuñero hecho con fresa de extremo	2.14	3.0
ranura para anillo de retención	5.0	3.0
hombro	según D/d y r/d (gráficas)	ídem

Por eso la sección más peligrosa casi nunca es la de momento máximo, sino un hombro, un cuñero o una ranura cercana: hay que revisar todas. El simulador arma la lista de Puntos críticos y calcula el factor de seguridad de cada uno.

Criterios de fatiga y diámetro

Con un esfuerzo medio, el material aguanta menos amplitud. Los criterios dibujan una línea de falla en el plano $(σ_{m}^{'}, σ_{a}^{'})$ y el factor de seguridad es cuánto se puede escalar el punto de trabajo hasta tocarla:

Criterio	Ecuación	Comentario
Goodman	$\frac{1}{n} = \frac{σ _{a}^{'}}{S _{e}} + \frac{σ _{m}^{'}}{S _{u t}}$	recta; algo conservador, el más usado
Gerber	$\frac{n σ _{a}^{'}}{S _{e}} + (\frac{n σ _{m}^{'}}{S _{u t}})^{2} = 1$	parábola; se ajusta mejor a los ensayos
ASME elíptico	$(\frac{n σ _{a}^{'}}{S _{e}})^{2} + (\frac{n σ _{m}^{'}}{S _{y}})^{2} = 1$	elipse; incluye la fluencia
Soderberg	$\frac{1}{n} = \frac{σ _{a}^{'}}{S _{e}} + \frac{σ _{m}^{'}}{S _{y}}$	recta hasta la fluencia; el más conservador

Diagrama de fatiga del acero 1020 estirado en frío con el Se del ejemplo 1. El punto del ejemplo 2 se escala por la línea de carga hasta la recta de Goodman: n = 2.35.

Despejando $d$ de Goodman, con flexión alternante y par constante (el caso típico), se obtiene la fórmula de diseño DE-Goodman:

d = [\frac{16 n}{π} (\frac{2 K _{f} M _{a}}{S _{e}} + \frac{3 K _{f s} T _{m}}{S _{u t}})]^{1/3}

Además se revisa la fluencia en el primer ciclo, $n_{y} = S_{y} / σ_{m \overset{a}{ˊ} x}^{'}$ con $σ_{m \overset{a}{ˊ} x}^{'} = (σ_{m} + σ_{a})^{2} + 3 (τ_{m} + τ_{a})^{2}$ , que no suele mandar.

Deflexión y velocidad crítica

Un eje resistente puede ser demasiado flexible. Los cojinetes toleran poca pendiente (en un rígido de bolas, del orden de 0.001 a 0.003 rad) y los engranes necesitan que sus ejes no se separen. La deflexión se obtiene integrando $M / (E I)$ con el diámetro de cada tramo. Con ella se estima la primera velocidad crítica (Rayleigh), en la que el eje entra en resonancia; conviene girar bien por debajo:

ω_{1} = \frac{g \sum w _{i} y _{i}}{\sum w _{i} y _{i}^{2}}

Errores frecuentes

Tratar la flexión de un eje que gira como estática: es alternante, y el par constante es la parte media.
Sumar los momentos de los dos planos algebraicamente en lugar de con $M_{x y}^{2} + M_{x z}^{2}$ .
Revisar solo la sección de momento máximo y olvidar hombros, cuñeros y ranuras.
Usar $K_{t}$ en lugar de $K_{f}$ en fatiga, o $K_{f}$ (flexión) donde corresponde $K_{f s}$ (torsión).
Olvidar que $S_{e}$ depende del diámetro ( $k_{b}$ ) al despejar $d$ .

Ejemplos resueltos

Los tres ejemplos usan un eje de 400 mm entre dos rodamientos de bolas, de acero AISI 1020 estirado en frío ( $S_{u t} = 470$ MPa, $S_{y} = 390$ MPa), maquinado, a 20 °C, con 50 % de confiabilidad y una carga de 4 kN en el centro.

Ejemplo 1Eje liso con una carga

El eje es liso, de 40 mm de diámetro, y no transmite par. Halla el límite de fatiga, el factor de seguridad a fatiga y a fluencia, y la pendiente en los cojinetes.

Solución

Reacciones de 2 kN y momento máximo en el centro: $M = 2000 \cdot 200 = 400000$ N·mm. Al girar, $σ_{a} = \frac{32 \cdot 400 000}{π \cdot 4 0 ^{3}} = 63.66$ MPa y $σ_{m} = 0$ .
$S_{e}^{'} = 0.5 \cdot 470 = 235$ MPa; $k_{a} = 4.51 \cdot 47 0^{- 0.265} = 0.883$ ; $k_{b} = 1.24 \cdot 4 0^{- 0.107} = 0.836$ ; los demás valen 1. $S_{e} = 0.883 \cdot 0.836 \cdot 235 = 173.4$ MPa.
Sin esfuerzo medio, todos los criterios dan lo mismo: $n = \frac{173.4}{63.66} = 2.72$ . Fluencia: $n_{y} = \frac{390}{63.66} = 6.13$ .
Pendiente en los cojinetes: $θ = \frac{P L ^{2}}{16 E I} = \frac{4000 \cdot 40 0 ^{2}}{16 \cdot 207 000 \cdot 125 664} = 0.00154$ rad, dentro de lo que tolera un rodamiento de bolas. Deflexión en el centro: $\frac{P L ^{3}}{48 E I} = 0.205$ mm.

S_{e} = 173.4

MPa,

n = 2.72

a fatiga,

n_{y} = 6.13

y pendiente 0.00154 rad en cada cojinete.

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Ejes, en Ejemplos, «Cargar eje» → Eje liso con una carga (para comprobar a mano).
El «Paso a paso» del punto 1 (momento máximo) repite estas cuentas: $k_{a} = 0.883$ , $k_{b} = 0.836$ , $S_{e} = 173.4$ MPa, $σ_{a}^{'} = 63.66$ MPa y la tabla de criterios con 2.72; la fluencia da 6.13. Además dice el diámetro mínimo para $n = 1.5$ (32.54 mm, que ya incluye que $k_{b}$ cambia con $d$ ).
En Deflexión, pendientes y velocidad crítica aparecen las pendientes (0.00154 rad) y la primera velocidad crítica, unas 30 000 rpm frente a las 600 de servicio.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 2El mismo eje transmitiendo par

Ahora el eje recibe un par de 200 N·m en el centro (donde está la carga) y lo entrega en el extremo B. Halla los esfuerzos de von Mises y el factor de seguridad con Goodman.

Solución

El par existe solo entre el centro y B, y en el centro se junta con el momento máximo.
$τ_{m} = \frac{16 \cdot 200 000}{π \cdot 4 0 ^{3}} = 15.92$ MPa, así que $σ_{m}^{'} = 3 \cdot 15.92 = 27.57$ MPa; $σ_{a}^{'} = 63.66$ MPa como antes.
Goodman: $\frac{1}{n} = \frac{63.66}{173.4} + \frac{27.57}{470} = 0.4258$ , $n = 2.35$ . El par, aunque es constante, quita un 14 % de margen.
Fluencia: $σ_{m \overset{a}{ˊ} x}^{'} = 63.6 6^{2} + 3 \cdot 15.9 2^{2} = 69.37$ MPa y $n_{y} = 390/69.37 = 5.62$ .

σ_{a}^{'} = 63.66

MPa,

σ_{m}^{'} = 27.57

MPa,

n = 2.35

(Goodman) y

n_{y} = 5.62

Resuélvelo en Simuveliq

El botón abre el eje con dos elementos de tipo Fuerza: la carga de 4 kN con T = 200 N·m en el centro y una salida con T = −200 N·m en B.
El paso 6 da $σ_{a}^{'} = 63.66$ y $σ_{m}^{'} = 27.57$ MPa, y el paso 7 la tabla con DE-Goodman 2.35, DE-Gerber, DE-ASME y DE-Soderberg. Cambia el Criterio de fatiga para ver cuál es más conservador.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 3Un hombro cerca del centro

El eje pasa de 40 a 48 mm en

x = 150

mm, con un radio de 2 mm en el hombro, y sigue con 48 mm hasta B. Sin par. Halla

K_{t}

K_{f}

y el factor de seguridad en el hombro y en el centro.

Solución

Geometría del hombro: $D / d = 48/40 = 1.2$ y $r / d = 2/40 = 0.05$ . De la gráfica del hombro (con el ajuste por curvas de la herramienta): $K_{t} = 1.865$ .
Neuber: para $S_{u t} = 470$ MPa (68.2 kpsi), $a = 0.0978 in$ ; con $r = 2$ mm $= 0.0787$ in, $q = \frac{1}{1 + 0.0978/ 0.0787} = 0.742$ . $K_{f} = 1 + 0.742 \cdot 0.865 = 1.642$ .
En el hombro ( $x = 150$ , $M = 300000$ N·mm, $d = 40$ ): $σ_{a} = 1.642 \cdot \frac{32 \cdot 300 000}{π \cdot 4 0 ^{3}} = 78.39$ MPa y $n = 173.4/78.39 = 2.21$ .
En el centro ( $M = 400000$ N·mm pero $d = 48$ y sin concentrador): $σ_{a} = 36.84$ MPa, $S_{e} = 170.1$ MPa (un $k_{b}$ algo menor) y $n = 4.62$ . Manda el hombro, aunque tiene menos momento.

K_{t} = 1.865

q = 0.742

K_{f} = 1.642

;

n = 2.21

en el hombro (gobierna) y 4.62 en el centro.

Resuélvelo en Simuveliq

El botón abre el eje con dos tramos en Geometría del eje: 150 mm de Ø 40 con radio 2 hacia el siguiente, y 250 mm de Ø 48.
En Puntos críticos aparecen el «Hombro Ø40→Ø48» con n = 2.21 y el «Momento máximo (sin concentrador)» con n = 4.62. El paso 4 del hombro muestra $K_{t}$ , $q$ y $K_{f}$ .
Aumenta el radio del hombro y mira cómo bajan $K_{t}$ y $K_{f}$ : es la forma más barata de ganar vida a fatiga.

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