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Estadística descriptiva

La estadística descriptiva resume un conjunto de datos con pocos números y gráficos: dónde está el centro, cuánto se dispersan, si son simétricos y si hay valores raros. Este tema explica la media, la mediana y la moda, la varianza y la desviación estándar (muestral y poblacional), los cuartiles, el diagrama de caja y los datos atípicos.

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Tendencia central

La media $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}$ es el punto de equilibrio de los datos. La mediana es el valor del medio con los datos ordenados (con $n$ par, el promedio de los dos centrales). La moda es el valor más repetido. La media usa todos los valores, pero un solo dato extremo la arrastra; la mediana no se entera.

Un dato de 48 entre valores de 12 a 16 sube la media a 17.5; la mediana se queda en 14.5.

Dispersión

La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media, y la desviación estándar su raíz (en las mismas unidades que los datos):

s^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1} σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - μ ) ^{2}}{N}

Se divide entre $n - 1$ cuando los datos son una muestra de algo mayor (la media de la muestra ya «gastó» un grado de libertad y dividir entre $n$ subestimaría la varianza), y entre $N$ cuando son toda la población. El coeficiente de variación $s /∣ \overset{x}{ˉ} ∣$ compara la dispersión de datos con medias distintas.

Cuartiles, caja y atípicos

Los cuartiles $Q_{1}$ , $Q_{2}$ (la mediana) y $Q_{3}$ dejan por debajo el 25 %, el 50 % y el 75 % de los datos; el rango intercuartílico $I QR = Q_{3} - Q_{1}$ mide la dispersión del 50 % central. Hay varias formas de interpolarlos; la herramienta usa la de PERCENTIL.INC de Excel: la posición del percentil $p$ es $1 + p (n - 1)$ en los datos ordenados.

Un dato es atípico si queda fuera de los límites de Tukey, $Q_{1} - 1.5 I QR$ y $Q_{3} + 1.5 I QR$ . El diagrama de caja lo resume todo: la caja va de $Q_{1}$ a $Q_{3}$ , la línea es la mediana, los bigotes llegan al último dato dentro de los límites y los atípicos se dibujan aparte.

Diagrama de caja de los datos 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (ejemplo 1).

La asimetría dice hacia qué lado tiene la cola la distribución (positiva: cola a la derecha, media mayor que la mediana) y la curtosis si sus colas son más pesadas que las de una normal.

La herramienta calcula todas estas medidas con las mismas definiciones que Excel (cuartiles, asimetría y curtosis ajustadas), dibuja el histograma o las barras de frecuencia, el diagrama de caja y la tabla de frecuencias, y muestra los pasos de cada cálculo.

Errores frecuentes

Calcular la mediana sin ordenar los datos.
Mezclar $n$ y $n - 1$ : con una muestra, la desviación estándar se divide entre $n - 1$ .
Con una tabla de frecuencias, olvidar que $n$ es la suma de las frecuencias, no el número de valores distintos.
Borrar un atípico sin más: puede ser un error de medida o el dato más importante; hay que investigarlo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Todas las medidas a mano

Calcula media, mediana, moda, desviación estándar (muestral y poblacional), cuartiles y atípicos de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

Solución

$n = 8$ , $\sum x = 40$ , $\overset{x}{ˉ} = 5$ . Ordenados, los centrales son 4 y 5: mediana $4.5$ . Moda: 4 (tres veces).
Desviaciones al cuadrado: $9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$ . $s^{2} = 32/7 = 4.57143$ , $s = 2.13809$ ; $σ^{2} = 32/8 = 4$ , $σ = 2$ .
$Q_{1}$ : posición $1 + 0.25 \cdot 7 = 2.75$ , entre el 2.º y el 3.º dato (4 y 4) → $4$ . $Q_{3}$ : posición $6.25$ , entre 5 y 7 → $5 + 0.25 \cdot 2 = 5.5$ . $I QR = 1.5$ .
Límites: $4 - 2.25 = 1.75$ y $5.5 + 2.25 = 7.75$ . El 9 queda fuera: es atípico.

\overset{x}{ˉ} = 5

, mediana

4.5

, moda

4

s = 2.13809

σ = 2

Q_{1} = 4

Q_{3} = 5.5

; atípico: 9.

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Estadística, escribe o pega en Datos 2 4 4 4 5 5 7 9, con «Los datos son: una muestra (n − 1)». Las tarjetas dan Media 5, Mediana 4.5, Moda 4 (3×), Desviación estándar muestral 2.13809, poblacional 2, Q₁ 4, Q₃ 5.5, Límites de Tukey 1.75 · 7.75 y Datos atípicos 9.

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Ejemplo 2Notas de un examen

Resume las 15 notas 7.5, 8, 6, 9, 5.5, 7, 8.5, 6, 7, 10, 4, 7, 8, 6.5, 9.

Solución

$\sum x = 109$ , $\overset{x}{ˉ} = 109/15 = 7.26667$ . Ordenadas, la 8.ª es 7: mediana 7, que también es la moda (tres veces).
$s = 1.55686$ y $C V = 1.55686/7.26667 = 21.42 %$ : dispersión moderada.
$Q_{1} = 6.25$ , $Q_{3} = 8.25$ , $I QR = 2$ ; límites $3.25$ y $11.25$ : ningún atípico (el 4 queda dentro).

\overset{x}{ˉ} = 7.26667

, mediana 7,

s = 1.55686

C V = 21.42 %

, sin atípicos.

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Estadística, escribe o pega en Datos las notas (es el primer ejemplo de la lista), con «Los datos son: una muestra (n − 1)». Además del resumen, dibuja el histograma con 5 clases (regla de Sturges) y el diagrama de caja.

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Ejemplo 3Datos con frecuencias

En una encuesta, 6 familias tienen 0 hijos, 14 tienen 1, 19 tienen 2, 9 tienen 3, 3 tienen 4 y 1 tiene 5. Halla la media, la mediana y la desviación estándar.

Solución

$n = 6 + 14 + 19 + 9 + 3 + 1 = 52$ familias. $\sum f x = 0 + 14 + 38 + 27 + 12 + 5 = 96$ , así que $\overset{x}{ˉ} = 96/52 = 1.84615$ hijos.
Mediana: los datos 26.º y 27.º; las frecuencias acumuladas son 6, 20, 39…, así que los dos valen 2. Moda: 2.
$s = \frac{\sum f ( x - x ˉ ) ^{2}}{n - 1} = 1.1442$ .

n = 52

\overset{x}{ˉ} = 1.84615

, mediana 2, moda 2,

s = 1.1442

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Estadística, escribe o pega en Datos 0 1 2 3 4 5 y en Frecuencias 6 14 19 9 3 1, con «Los datos son: una muestra (n − 1)». Da n 52, Media 1.84615, Mediana 2, Moda 2 (19×) y desviación muestral 1.1442, con la tabla de frecuencias relativas y acumuladas.

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Ejemplo 4Un dato atípico

Diez mediciones dan 12, 15, 14, 13, 16, 15, 14, 13, 15 y 48. ¿Qué medida de centro las describe mejor? ¿Hay atípicos?

Solución

$\overset{x}{ˉ} = 175/10 = 17.5$ , mayor que nueve de los diez datos. Mediana: los datos 5.º y 6.º ordenados, 14 y 15 → $14.5$ .
$Q_{1} = 13.25$ , $Q_{3} = 15$ , $I QR = 1.75$ ; límites $13.25 - 2.625 = 10.625$ y $15 + 2.625 = 17.625$ . El 48 es atípico.
La mediana (14.5) describe mejor el grupo; la asimetría (3.089) y la curtosis (9.665) altas delatan el valor raro.

Mediana 14.5 (la media, 17.5, está inflada); atípico: 48.

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Estadística, escribe o pega en Datos los diez valores (es el ejemplo «Con un dato atípico»), con «Los datos son: una muestra (n − 1)». Da Media 17.5, Mediana 14.5, Límites de Tukey 10.625 · 17.625 y Datos atípicos 48, que el diagrama de caja dibuja con un círculo.

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