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Funciones y sus gráficas

Una función asigna a cada valor de entrada un único valor de salida, y su gráfica lo muestra de un vistazo: dónde corta los ejes, dónde crece, sus máximos y sus asíntotas. Este tema explica el dominio y el rango, las transformaciones de una gráfica, las asíntotas de las funciones racionales, la función inversa y las curvas que no son funciones (implícitas, paramétricas y polares).

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Dominio y rango

El dominio son los $x$ para los que la fórmula tiene sentido: hay que quitar los ceros de los denominadores, lo que deja negativo el radicando de una raíz par y lo que deja el argumento de un logaritmo $\leq 0$ . El rango (o recorrido) son los valores $y$ que la función alcanza.

Función	Dominio	Rango
$x^{2}$	$R$	$[0, \infty)$
$x$	$[0, \infty)$	$[0, \infty)$
$1/ x$	$R ∖ {0}$	$R ∖ {0}$
$e^{x}$	$R$	$(0, \infty)$
$ln x$	$(0, \infty)$	$R$
$sin x$	$R$	$[- 1, 1]$

Transformaciones

Conociendo la gráfica de $f$ , se obtienen otras sin calcular de nuevo:

Fórmula	Efecto en la gráfica
$f (x) + k$	sube $k$ unidades (baja si $k < 0$ )
$f (x - h)$	se mueve $h$ a la derecha (el signo engaña)
$a f (x)$	se estira en vertical por $a$
$f (b x)$	se comprime en horizontal por $b$
$- f (x)$ , $f (- x)$	reflejo en el eje $x$ , reflejo en el eje $y$

Asíntotas de las funciones racionales

En $f = P / Q$ , cada raíz de $Q$ que no lo es de $P$ da una asíntota vertical: la función se va a $\pm \infty$ . En el infinito mandan los términos de mayor grado: si $P$ y $Q$ tienen el mismo grado, hay asíntota horizontal en el cociente de sus coeficientes principales; si $P$ tiene menor grado, en $y = 0$ ; si tiene un grado más, hay una asíntota oblicua (la división da la recta).

Función inversa

Si $f$ es inyectiva (no repite valores), tiene inversa $f^{- 1}$ : deshace lo que hace $f$ , $f^{- 1} (f (x)) = x$ . Se calcula despejando $x$ de $y = f (x)$ e intercambiando las letras. Su gráfica es el reflejo de la de $f$ en la recta $y = x$ ; el dominio de una es el rango de la otra.

Curvas que no son funciones

Una circunferencia no es la gráfica de una función: a un $x$ le corresponden dos $y$ . Se describe como curva implícita ( $x^{2} + y^{2} = 9$ ), en paramétricas ( $x = 3 cos t$ , $y = 3 sin t$ ) o en polares ( $r = 3$ ). La calculadora gráfica dibuja los tres tipos, además de desigualdades y funciones a trozos.

Al tocar una fila, la calculadora gráfica busca raíces, máximos, mínimos, el corte con el eje

y

y las intersecciones con las demás curvas en

- 10 \leq x \leq 10

, y solo marca un extremo si de verdad lo es (no los «picos» junto a una asíntota).

Errores frecuentes

Mover $f (x + 2)$ a la derecha: va 2 a la izquierda.
Confundir $f^{- 1} (x)$ con $1/ f (x)$ .
Dar como asíntota vertical una raíz que también anula el numerador: ahí hay un hueco, no una asíntota.
Olvidar que una curva puede cruzar su asíntota horizontal (lo que no hace es acercarse sin fin a la vertical sin cruzarla).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Trasladar una gráfica

f (x) = x^{3} - 3 x

tiene un máximo en

(- 1, 2)

y un mínimo en

(1, - 2)

. ¿Dónde están los de

g (x) = f (x - 1) + 2

? ¿Dónde se cortan

f

g

Solución

$g$ es $f$ movida 1 a la derecha y 2 arriba: cada punto $(a, b)$ pasa a $(a + 1, b + 2)$ . Máximo $(0, 4)$ , mínimo $(2, 0)$ .
Desarrollando, $g (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 = (x + 1) (x - 2)^{2}$ : raíces $x = - 1$ y $x = 2$ (doble: la gráfica toca el eje en el mínimo).
Cortes: $x^{3} - 3 x = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ → $3 x^{2} - 3 x - 4 = 0$ → $x = \frac{3 \pm 57}{6}$ , es decir, $x = - 0.758306$ y $x = 1.75831$ .

g

: máximo

(0, 4)

, mínimo

(2, 0)

; se cortan en

(- 0.758306, 1.83887)

(1.75831, 0.16113)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora gráfica escribe f(x)=x^3-3x y g(x)=f(x-1)+2, una por fila (con + Expresión), y toca la fila de $g$ . Debajo aparecen «Raíces: x = −1, x = 2», «Máximos: (0, 4)», «Mínimos: (2, 0)» e «Intersecciones: (−0.758306, 1.83887), (1.75831, 0.16113)».

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Ejemplo 2Función racional: dominio, rango y asíntotas

Estudia

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}

: dominio, rango, asíntotas y cortes con los ejes.

Solución

Dominio: $x - 1 \neq = 0$ → $R ∖ {1}$ . En $x = 1$ el numerador vale 3: asíntota vertical $x = 1$ .
Mismo grado arriba y abajo: asíntota horizontal $y = 2/1 = 2$ .
Rango: $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ → $x = \frac{y + 1}{y - 2}$ , que existe salvo para $y = 2$ : rango $R ∖ {2}$ (es justo la asíntota).
Cortes: $f = 0$ cuando $2 x + 1 = 0$ → $x = - 0.5$ ; $f (0) = - 1$ .

Dominio

R ∖ {1}

, rango

R ∖ {2}

; asíntotas

x = 1

y = 2

; raíz

x = - 0.5

, corte

(0, - 1)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Cálculo, operación Dominio y rango: escribe (2x+1)/(x-1) y pulsa Calcular. La Respuesta es $Dom f = (- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ , $Rango f = (- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .
En la Calculadora gráfica, y=(2x+1)/(x-1) da «Raíces: x = −0.5» y «Corte con el eje y: (0, −1)».

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Ejemplo 3Recta y circunferencia

¿Dónde corta la recta

y = x + 1

a la circunferencia

x^{2} + y^{2} = 9

Solución

Se sustituye $y$ : $x^{2} + (x + 1)^{2} = 9$ → $2 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ → $x^{2} + x - 4 = 0$ .
$x = \frac{- 1 \pm 17}{2}$ : $x = 1.56155$ ( $y = 2.56155$ ) y $x = - 2.56155$ ( $y = - 1.56155$ ).

(- 2.56155, - 1.56155)

(1.56155, 2.56155)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora gráfica escribe x^2+y^2=9 y y=x+1, una por fila (con + Expresión), y toca la fila de la recta. Debajo aparecen «Intersecciones: (−2.56155, −1.56155), (1.56155, 2.56155)» (y su raíz, x = −1).

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Ejemplo 4La exponencial y el logaritmo

Comprueba que

ln x

es la inversa de

e^{x}

y compara sus cortes con los ejes.

Solución

$y = e^{x}$ → $x = ln y$ : intercambiando letras, $f^{- 1} (x) = ln x$ . Dominio de $ln$ : $(0, \infty)$ , el rango de $e^{x}$ .
$e^{x}$ corta el eje $y$ en $(0, 1)$ y no tiene raíces; $ln x$ tiene la raíz $x = 1$ , es decir, el punto $(1, 0)$ , y no corta el eje $y$ . Son el mismo punto con las coordenadas intercambiadas.
Ninguna corta a $y = x$ : $e^{x} > x > ln x$ para todo $x$ .

ln x = (e^{x})^{- 1}

;

(0, 1) \leftrightarrow (1, 0)

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora gráfica escribe y=e^x, y=ln(x) y y=x, una por fila (con + Expresión), y toca la fila de $ln x$ . Debajo aparecen «Raíces: x = 1» y ninguna intersección; en la fila de $e^{x}$ , «Corte con el eje y: (0, 1)».

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