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Geometría: áreas, volúmenes y triángulos

La geometría da las fórmulas de áreas, perímetros y volúmenes que se usan a diario en ingeniería (la sección de una viga, el volumen de un depósito) y las leyes para resolver cualquier triángulo. Este tema las reúne, explica cómo despejar una medida a partir del área o el volumen y cómo tratar el caso ambiguo de los triángulos.

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Áreas y perímetros

Figura	Área	Perímetro
Rectángulo $b \times h$	$bh$	$2 (b + h)$
Triángulo	$\frac{1}{2} bh$	$a + b + c$
Trapecio	$\frac{( B + b )}{2} h$	suma de lados
Círculo	$π r^{2}$	$2 π r$
Sector de ángulo $θ$	$\frac{θ}{36 0 ^{\circ}} π r^{2}$	$2 r + \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} 2 π r$
Polígono regular de $n$ lados $a$	$\frac{1}{2} P a_{p}$ (apotema $a_{p}$ )	$na$

Volúmenes y áreas de los cuerpos

Cuerpo	Volumen	Área total
Prisma (base $A_{b}$ )	$A_{b} h$	$2 A_{b} + P_{b} h$
Cilindro	$π r^{2} h$	$2 π r (r + h)$
Pirámide	$\frac{1}{3} A_{b} h$	base + caras
Cono (generatriz $g$ )	$\frac{1}{3} π r^{2} h$	$π r (r + g)$
Esfera	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$

Fíjate en el $\frac{1}{3}$ : una pirámide o un cono ocupan un tercio del prisma o el cilindro de la misma base y altura. Al escalar todas las medidas por $k$ , las longitudes se multiplican por $k$ , las áreas por $k^{2}$ y los volúmenes por $k^{3}$ .

Despejar: si se conoce el área o el volumen y falta una medida, se plantea la fórmula y se resuelve. Por ejemplo, un círculo de área 50: $π r^{2} = 50$ → $r = 50/ π$ .

Resolver triángulos

Un triángulo queda determinado por tres datos, al menos uno de ellos un lado. La suma de los ángulos es $18 0^{\circ}$ , y dos leyes relacionan lados y ángulos:

Notación: cada lado se nombra con la letra minúscula del ángulo opuesto.

Datos	Se usa	Soluciones
tres lados (LLL)	ley de los cosenos para cada ángulo	una (si cumplen la desigualdad triangular)
dos lados y el ángulo entre ellos (LAL)	cosenos para el tercer lado	una
dos ángulos y un lado (ALA, LAA)	suma 180° y ley de los senos	una
dos lados y un ángulo no comprendido (LLA)	ley de los senos	cero, una o dos (caso ambiguo)

El área se obtiene con $\frac{1}{2} ab sin C$ o, con los tres lados, con la fórmula de Herón: $A = s (s - a) (s - b) (s - c)$ , con $s$ el semiperímetro.

La herramienta Geometría escribe cada fórmula, sustituye los datos y da el resultado; si se le da el área, el perímetro o el volumen, despeja la medida que falta y comprueba que reproduce el dato. En el caso ambiguo muestra los dos triángulos.

Errores frecuentes

Usar el diámetro donde va el radio (o al revés).
Olvidar el $\frac{1}{3}$ del cono y la pirámide.
Confundir la altura $h$ del cono con su generatriz $g$ .
En el caso LLA, quedarse con un solo triángulo: si $sin B < 1$ y el suplemento de $B$ cabe, hay dos.
Tener la calculadora en radianes al usar ángulos en grados.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Dos lados y el ángulo comprendido

Un triángulo tiene

a = 7

b = 9

m y

C = 4 0^{\circ}

. Halla el lado

c

, los otros ángulos y el área.

Solución

Ley de los cosenos: $c^{2} = 7^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 cos 4 0^{\circ} = 130 - 96.52 = 33.48$ → $c = 5.78605$ m.
$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ → $A = 51.045 8^{\circ}$ ; $B = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 51.045 8^{\circ} = 88.954 2^{\circ}$ .
Área: $\frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot sin 4 0^{\circ} = 20.2478$ m².

c = 5.78605

A = 51.045 8^{\circ}

B = 88.954 2^{\circ}

, área

20.2478

m².

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Geometría, Resolver triángulos: escribe Lado a = 7, Lado b = 9 y Ángulo C = 40. La solución (LAL) da $c = 5.78605$ m, $A = 51.045 8^{\circ}$ , $B = 88.954 2^{\circ}$ y área 20.2478 m², además de las alturas, las medianas y los radios inscrito y circunscrito.

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Ejemplo 2El caso ambiguo

Resuelve el triángulo con

a = 8

b = 10

A = 4 0^{\circ}

Solución

Ley de los senos: $sin B = \frac{b sin A}{a} = \frac{10 sin 4 0 ^{\circ}}{8} = 0.8035$ .
Dos ángulos tienen ese seno: $B_{1} = 53.464 1^{\circ}$ y $B_{2} = 18 0^{\circ} - 53.464 1^{\circ} = 126.53 6^{\circ}$ . Los dos caben con $A = 4 0^{\circ}$ (suman menos de 180°).
Triángulo 1: $C = 86.535 9^{\circ}$ , $c = \frac{a sin C}{sin A} = 12.423$ . Triángulo 2: $C = 13.464 1^{\circ}$ , $c = 2.89784$ .

Dos triángulos:

B = 53.464 1^{\circ}

C = 86.535 9^{\circ}

c = 12.423

; o

B = 126.53 6^{\circ}

C = 13.464 1^{\circ}

c = 2.89784

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Geometría, Resolver triángulos: escribe Lado a = 8, Lado b = 10 y Ángulo A = 40. La herramienta dice «LLA (caso ambiguo) · dos triángulos posibles» y muestra los dos, con $c = 12.423$ y $c = 2.89784$ .

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Ejemplo 3Volumen y área de un cono

Un cono tiene radio 3 m y altura 4 m. Halla la generatriz, el volumen y el área total.

Solución

La altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo: $g = 3^{2} + 4^{2} = 5$ m.
$V = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 4 = 12 π = 37.6991$ m³.
Área lateral $π r g = 15 π = 47.1239$ m²; total $π r (r + g) = 24 π = 75.3982$ m².

g = 5

V = 37.6991

m³,

A = 75.3982

m².

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Geometría, Cuerpos geométricos: elige Cono y escribe Radio r = 3 y Altura h = 4. Da generatriz 5 m, volumen 37.6991 m³, área lateral 47.1239 m² y área total 75.3982 m²; los pasos sustituyen cada dato en su fórmula.

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Ejemplo 4El radio a partir del área

Un círculo tiene un área de 50 m². ¿Cuánto miden su radio y su circunferencia?

Solución

$π r^{2} = 50$ → $r = 50/ π = 3.98942$ m.
$C = 2 π r = 25.0663$ m.

r = 3.98942

m, circunferencia

25.0663

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Geometría, Figuras planas: elige Círculo, deja vacío el radio y escribe el área, 50. La herramienta despeja el radio, 3.98942 m (marcado «despejado»), y da la circunferencia 25.0663 m.

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Ejemplo 5Un depósito de 1000 m³

Un depósito cilíndrico de 10 m de altura debe contener 1000 m³. ¿Qué radio necesita y cuánta chapa lleva (área total)?

Solución

$π r^{2} \cdot 10 = 1000$ → $r = 100/ π = 5.6419$ m.
Área total: $2 π r (r + h) = 2 π \cdot 5.6419 \cdot 15.6419 = 554.491$ m² (cada base mide 100 m²).

r = 5.6419

m; área total

554.491

m².

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Geometría, Cuerpos geométricos: elige Cilindro, deja vacío el radio, escribe Altura h = 10 y el volumen, 1000. Da el radio despejado 5.6419 m, el área de una base 100 m² y el área total 554.491 m².

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