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Series y polinomio de Taylor

Una serie es una suma de infinitos términos. Algunas tienen un valor finito (convergen) y otras crecen sin límite (divergen), aunque sus términos se hagan cada vez más pequeños. Este tema explica las series geométricas y las p, los criterios de convergencia y el polinomio de Taylor, que aproxima una función con un polinomio: así calculan las calculadoras senos y exponenciales.

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Series y sumas parciales

La serie $\sum_{n} a_{n}$ converge a $S$ si sus sumas parciales $S_{N} = a_{1} + \dots + a_{N}$ tienden a $S$ . Si $a_{n}$ no tiende a 0, la serie diverge seguro (criterio del término general); pero que $a_{n} \to 0$ no basta: es necesario, no suficiente.

Geométrica: cada término es el anterior por una razón fija $r$ . Converge si y solo si $∣ r ∣ < 1$ :

n = 0 \sum \infty a r^{n} = \frac{a}{1 - r} (∣ r ∣ < 1)

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = 2

: las sumas parciales se acercan a 2 sin pasarlo.

Serie p: $\sum \frac{1}{n ^{p}}$ converge si y solo si $p > 1$ . La armónica ( $p = 1$ ) diverge, aunque muy despacio: hacen falta unos 12 000 términos para que la suma pase de 10.

Criterios de convergencia

Criterio	Qué dice	Cuándo usarlo
Cociente	$L = lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ : converge si $L < 1$ , diverge si $L > 1$ ; $L = 1$ no decide	factoriales, potencias $c^{n}$
Raíz	$L = lim n ∣ a_{n} ∣$ , mismas reglas	términos de la forma $(\dots)^{n}$
Comparación	si $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ y $\sum b_{n}$ converge, $\sum a_{n}$ también (y al revés con la divergencia)	cocientes de polinomios: comparar con una serie p
Integral	$\sum f (n)$ y $\int^{\infty} f (x) d x$ convergen o divergen juntas ( $f$ positiva y decreciente)	funciones fáciles de integrar
Leibniz	una alternada $\sum (- 1)^{n} b_{n}$ con $b_{n}$ decreciente y $b_{n} \to 0$ converge	signos alternos

Una serie converge absolutamente si $\sum ∣ a_{n} ∣$ converge, y condicionalmente si converge pero $\sum ∣ a_{n} ∣$ no.

Polinomio de Taylor

Cerca de un punto $x_{0}$ , una función derivable se aproxima con el polinomio que tiene sus mismas derivadas en $x_{0}$ :

f (x) \approx P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k}

Con $x_{0} = 0$ se llama de Maclaurin. Las más usadas:

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots

Polinomios de Taylor de

sin x

en 0: cuanto mayor el orden, en un intervalo más ancho se confunden con la curva.

El error es del orden del primer término que se omite, $(x - x_{0})^{n + 1}$ : crece al alejarse de $x_{0}$ . De ahí salen las aproximaciones de ingeniería $sin x \approx x$ y $cos x \approx 1 - x^{2} /2$ para ángulos pequeños (en radianes).

Errores frecuentes

Concluir que una serie converge porque $a_{n} \to 0$ (la armónica es el contraejemplo).
Aplicar el criterio del cociente cuando da $L = 1$ y decidir algo: con $L = 1$ hay que usar otro criterio.
Usar la fórmula de la geométrica con $∣ r ∣ \geq 1$ , o con el primer término equivocado.
Olvidar el $k!$ del denominador en Taylor, o usar grados en lugar de radianes.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Serie geométrica

¿Converge

\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{2}{3})^{n}

? Si es así, ¿cuánto vale?

Solución

Es geométrica de razón $r = \frac{2}{3}$ y primer término $a = 1$ . Como $∣ r ∣ < 1$ , converge.
$\sum = \frac{1}{1 - 2/3} = 3$ .

Converge; suma 3.

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Convergencia de series: escribe (2/3)^n con Desde n = 0 y pulsa Calcular. La Respuesta es «La serie converge (geométrica)», y los pasos dan la suma, 3.

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Ejemplo 2La serie armónica

¿Converge

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}

Solución

$\frac{1}{n} \to 0$ : el término general no decide. El cociente da $L = 1$ : tampoco.
Es una serie p con $p = 1$ , que no es mayor que 1: diverge. (Con la integral: $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x} = lim ln b = \infty$ .)

Diverge.

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Convergencia de series: escribe 1/n con Desde n = 1 y pulsa Calcular. La Respuesta es «La serie diverge (serie p)».

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Ejemplo 3Serie p convergente

¿Converge

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}

Solución

Es una serie p con $p = 2 > 1$ : converge. (Su suma es $π^{2} /6 \approx 1.645$ , un resultado clásico que no sale de estos criterios.)

Converge.

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Convergencia de series: escribe 1/n^2 con Desde n = 1 y pulsa Calcular. La Respuesta es «La serie converge (criterio de Raabe)»: como el cociente da $L = 1$ , la calculadora usa el criterio de Raabe, otro camino a la misma conclusión.

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Ejemplo 4Convergencia condicional

Estudia

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

Solución

Es alternada con $b_{n} = \frac{1}{n}$ , decreciente y con límite 0: converge por Leibniz.
En valor absoluto es la armónica, que diverge: la convergencia es condicional (su suma es $- ln 2$ ).

Converge condicionalmente.

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Convergencia de series: escribe (-1)^n/n con Desde n = 1 y pulsa Calcular. La Respuesta es «La serie converge (condicionalmente)».

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Ejemplo 5Criterio del cociente

¿Converge

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2 ^{n}}

Solución

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n + 1}{2 ^{n + 1}} \cdot \frac{2 ^{n}}{n} = \frac{n + 1}{2 n} \to \frac{1}{2}$ .
$L = \frac{1}{2} < 1$ : converge (absolutamente). La potencia $2^{n}$ gana a $n$ .

Converge absolutamente.

Resuélvelo en Simuveliq

En Matemáticas → Calculadora simbólica, tema Series y ecuaciones diferenciales, operación Convergencia de series: escribe n/2^n con Desde n = 1 y pulsa Calcular. La Respuesta es «La serie converge (absolutamente, por el criterio del cociente)».

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Ejemplo 6Taylor del seno

Halla el polinomio de Maclaurin de orden 7 de

sin x

y úsalo para estimar

sin 0.5

Solución

Derivadas en 0: $sin 0 = 0$ , $cos 0 = 1$ , $- sin 0 = 0$ , $- cos 0 = - 1$ , y se repiten. Solo quedan las potencias impares:
$P_{7} (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \frac{x ^{7}}{5040}$ .
$P_{7} (0.5) = 0.5 - 0.0208333 + 0.0002604 - 0.0000016 = 0.4794255$ ; $sin 0.5 = 0.4794255$ : coinciden en los 7 decimales.

sin x \approx x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \frac{x ^{7}}{5040}

Resuélvelo en Simuveliq

En el tema Cálculo, operación Serie de Taylor: escribe sin(x), Centro = 0 y Orden = 7; pulsa Calcular. La Respuesta es $- \frac{x ^{7}}{5040} + \frac{x ^{5}}{120} - \frac{x ^{3}}{6} + x$ ; la gráfica pequeña dibuja $f$ y $P_{7}$ .

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Ejemplo 7Taylor fuera del origen

Halla el polinomio de Taylor de orden 4 de

ln x

centrado en

x_{0} = 1

Solución

$f (1) = 0$ , $f^{'} = \frac{1}{x} \to 1$ , $f^{''} = - \frac{1}{x ^{2}} \to - 1$ , $f^{'''} = \frac{2}{x ^{3}} \to 2$ , $f^{(4)} = - \frac{6}{x ^{4}} \to - 6$ .
Dividiendo entre $k!$ : $P_{4} = (x - 1) - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2} + \frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} - \frac{( x - 1 ) ^{4}}{4}$ .

ln x \approx (x - 1) - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2} + \frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} - \frac{( x - 1 ) ^{4}}{4}

Resuélvelo en Simuveliq

En el tema Cálculo, operación Serie de Taylor: escribe ln(x), Centro = 1 y Orden = 4; pulsa Calcular. La Respuesta es el mismo polinomio, con el primer término escrito como $x - 1$ al final.

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