Conversor de sistemas numéricos

Escribe un número en cualquier base y obtén su valor en binario, octal, decimal, hexadecimal, BCD y código Gray con el método de divisiones y multiplicaciones sucesivas, su representación en complemento a 1 y a 2, sumas y restas binarias con acarreos y banderas, y su codificación en punto flotante IEEE 754.

Qué puedes hacer

• Conversión entre bases con fracciones.
• Signo y magnitud, complemento a 1 y a 2, exceso.
• Aritmética binaria con banderas C, V, N, Z.
• IEEE 754 de 32 bits.

Preguntas frecuentes

Guía: sistemas numéricos, complemento a 2 e IEEE 754

Los computadores guardan todo en binario. Para programar a bajo nivel, diseñar circuitos digitales o entender por qué 0.1 + 0.2 no da exactamente 0.3, hay que saber pasar entre bases, representar números negativos y conocer el formato de coma flotante. Esta guía explica cada paso con ejemplos resueltos.

Bases 2, 8, 10 y 16

En base b, cada cifra vale su valor por una potencia de b según su posición. Por ejemplo, 1001 1100₂ = 128 + 16 + 8 + 4 = 156. El octal (base 8) y el hexadecimal (base 16, con cifras 0–9 y A–F) son formas compactas de escribir binario: cada cifra octal equivale a 3 bits y cada cifra hexadecimal a 4.

Ejemplo 1: 156 a binario, octal y hexadecimal

1. Divisiones sucesivas entre 2: 156 → 78 resto 0 → 39 resto 0 → 19 resto 1 → 9 resto 1 → 4 resto 1 → 2 resto 0 → 1 resto 0 → 0 resto 1. Leyendo los restos de abajo hacia arriba: 1001 1100₂.
2. Hexadecimal: grupos de 4 bits desde la derecha: 1001 | 1100 = 9 | C, es decir, 9C₁₆.
3. Octal: grupos de 3 bits: 10 | 011 | 100 = 2 | 3 | 4, es decir, 234₈.

Ejemplo 2: fracciones

La parte fraccionaria se multiplica por 2 y se toma la parte entera en cada paso: 0.625 × 2 = 1.25 → 1; 0.25 × 2 = 0.5 → 0; 0.5 × 2 = 1.0 → 1. Así, 0.625 = 0.101₂ = 0.5₈ = 0.A₁₆. Algunas fracciones decimales sencillas, como 0.1, no tienen representación binaria finita: se repiten sin fin, y por eso los computadores las redondean.

Números negativos con n bits

• Signo y magnitud: el primer bit es el signo. −5 con 8 bits = 1000 0101.
• Complemento a 1: se invierten todos los bits de +5: 1111 1010.
• Complemento a 2: complemento a 1 más 1: 1111 1011. Es el que usan casi todos los procesadores, porque la suma funciona igual para positivos y negativos y hay un solo cero. Con n bits representa de −2ⁿ⁻¹ a 2ⁿ⁻¹ − 1, es decir, de −128 a 127 con 8 bits.
• Exceso 2ⁿ⁻¹: se suma 128 al valor: −5 + 128 = 123 = 0111 1011. Es el que se usa en el exponente de IEEE 754, con exceso 127.

Ejemplo 3: desbordamiento

100 + 50 con 8 bits en complemento a 2: 0110 0100 + 0011 0010 = 1001 0110. Sin signo es 150, correcto; pero con signo ese patrón es −106. Hubo desbordamiento: dos positivos dieron un resultado negativo, porque 150 no cabe en el rango −128…127. El procesador lo detecta con la bandera V, que es el «o exclusivo» entre el acarreo que entra al bit de signo y el que sale de él.

Ejemplo 4: coma flotante IEEE 754 de 32 bits

Un número se guarda como signo (1 bit), exponente con exceso 127 (8 bits) y mantisa (23 bits), con un 1 implícito delante. Para 0.15625:

1. Signo positivo: 0.
2. En binario, 0.15625 = 0.00101₂ = 1.01 × 2⁻³.
3. Exponente guardado: −3 + 127 = 124 = 0111 1100.
4. Mantisa: los bits después del 1., es decir, 01 seguidos de ceros.
5. Resultado: 0 01111100 0100…0 = 0x3E200000.

Todos los valores de estos ejemplos coinciden con los que muestra la herramienta.

Cómo usar la herramienta

1. En «Conversión de bases» escribe el número (acepta negativos y fracciones, como −45, 101.011 o 3F.8), su base y el número de bits.
2. Lee el resultado en todas las bases (también BCD y código Gray), las representaciones con signo y los pasos: divisiones sucesivas, multiplicaciones de la fracción y agrupación de bits.
3. En «Aritmética binaria» suma o resta con n bits y mira los acarreos y las banderas C, V, N y Z.
4. En «IEEE 754» escribe un decimal o un patrón 0x… para ver sus campos.

Errores frecuentes

• Leer los restos de arriba hacia abajo: el primer resto es el bit menos significativo.
• Agrupar los bits desde la izquierda en la parte entera: se agrupan desde la coma.
• Olvidar sumar 1 en el complemento a 2.
• Confundir acarreo con desbordamiento: C importa en aritmética sin signo y V en aritmética con signo.

Para profundizar

M. M. Mano y M. D. Ciletti, Diseño digital (Pearson); D. A. Patterson y J. L. Hennessy, Estructura y diseño de computadores (Reverté); la norma IEEE 754. Simuveliq no está afiliado a estos autores, editoriales ni al IEEE.

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