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Engranajes y trenes de engranajes

Los engranajes transmiten giro y par entre ejes con una relación de velocidades exacta, sin deslizar. Este tema explica por qué los dientes tienen forma de evolvente, cómo se dimensionan con el módulo, cómo se calcula la relación de un tren de cualquier número de etapas (también planetario) y qué fuerzas soporta cada diente. Todo lo calcula la herramienta Engranajes, con la animación de cada engrane.

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Ley de engrane y perfil de evolvente

Para que la relación de velocidades sea constante en cada instante, la normal común a los dos dientes en el punto de contacto debe pasar siempre por un punto fijo de la línea de centros, el punto primitivo P. El perfil de evolvente (la curva que traza el extremo de un hilo tenso al desenrollarlo de un círculo, el círculo base) cumple esa ley y además tolera pequeños errores en la distancia entre centros sin perderla.

Con evolventes, el punto de contacto se mueve sobre una recta fija, la línea de acción, tangente a los dos círculos base. El ángulo entre esa recta y la tangente común en P es el ángulo de presión $ϕ$ , casi siempre 20°.

Etapa 1 del ejemplo 1: círculos primitivos tangentes en P, círculos base (a trazos), exteriores (punteados) y la línea de acción.

Geometría del diente

El tamaño de los dientes lo fija el módulo $m = d / z$ (en mm): dos engranes solo engranan si tienen el mismo módulo y el mismo ángulo de presión. Para dientes normales de 20°:

Medida	Fórmula
Diámetro primitivo	$d = m z$
Diámetro exterior	$d_{a} = d + 2 m$
Diámetro de raíz	$d_{f} = d - 2.5 m$
Diámetro base	$d_{b} = d cos ϕ$
Paso circular · paso base	$p = πm$ · $p_{b} = p cos ϕ$
Distancia entre centros	$a = \frac{d _{1} + d _{2}}{2}$ (interno: $\frac{d _{2} - d _{1}}{2}$ )

La razón de contacto $m_{c}$ es el número medio de pares de dientes en contacto: el largo de la línea de acción que hay entre los dos círculos exteriores, dividido entre el paso base. Debe ser mayor que 1 (en la práctica, 1.2 o más) para que un par de dientes empiece a engranar antes de que el anterior se suelte:

m_{c} = \frac{r _{a 1}^{2} - r _{b 1}^{2} + r _{a 2}^{2} - r _{b 2}^{2} - a sin ϕ}{p _{b}}

Un piñón con muy pocos dientes sufre socavado: la herramienta que lo talla le come la base del diente y lo debilita. Con 20° y dientes normales, el mínimo para engranar con una cremallera es

2/ sin^{2} ϕ \approx 17.1

, es decir, 18 dientes. El simulador lo comprueba en cada etapa.

Relación de transmisión y trenes

Como los círculos primitivos ruedan sin deslizar, $ω_{1} r_{1} = ω_{2} r_{2}$ , y la relación de una etapa es

i = \frac{ω _{1}}{ω _{2}} = \frac{n _{1}}{n _{2}} = \frac{z _{2}}{z _{1}} = \frac{d _{2}}{d _{1}}

Un engrane externo invierte el sentido de giro; uno interno (corona dentada) lo conserva.
En un tren simple (un engrane por eje), los intermedios se cancelan: la relación solo depende del primero y del último. Un engrane loco sirve para cambiar el sentido o salvar distancia.
En un tren compuesto hay dos engranes en un mismo eje, y la relación total es el producto de las de cada etapa: así se consiguen relaciones grandes con engranes de tamaño razonable.

Tren simple con engrane loco (la salida gira como la entrada) y tren compuesto de dos etapas (54 y 16 giran juntos en el eje intermedio).

Tipo	Ejes	Rasgo principal
Rectos	paralelos	sencillos y baratos; algo ruidosos
Helicoidales	paralelos	dientes inclinados $ψ$ : más suaves y silenciosos, pero con fuerza axial
Cónicos	que se cortan (90° típico)	cambian la dirección del eje
Sinfín y corona	que se cruzan	relaciones muy grandes en una etapa; pueden ser autobloqueantes
Piñón y cremallera	—	pasa de giro a traslación: $v = ω d /2$

Par, potencia y fuerzas en el diente

La potencia se conserva salvo las pérdidas: $P = T ω$ , y con $n$ en rpm, $T [N \cdot m] = 9549 P [kW] / n$ . El par de salida es $T_{2} = T_{1} i η$ , con $η$ cerca de 0.98 por etapa de rectos o helicoidales. La fuerza entre los dientes actúa a lo largo de la línea de acción y se descompone en:

W_{t} = \frac{2 T}{d} W_{r} = W_{t} tan ϕ (helicoidal: W_{a} = W_{t} tan ψ)

$W_{t}$ es la que transmite el par; $W_{r}$ separa los ejes y carga los cojinetes. El diente trabaja como una pequeña viga en voladizo: la ecuación de Lewis da su esfuerzo de flexión con el factor de forma $Y$ (que crece con el número de dientes) y el factor dinámico de Barth $K_{v} = (6.1 + V) /6.1$ ( $V$ en m/s), que cubre los impactos entre dientes:

σ = \frac{K _{v} W _{t}}{b m Y}

La superficie se revisa con el esfuerzo de contacto de Hertz entre dos cilindros. Para un diseño final se usa la norma AGMA completa, con factores de sobrecarga, tamaño y distribución de carga.

Trenes planetarios

Un tren planetario tiene un engrane central (sol), varios planetas que giran a su alrededor montados en un brazo (el portaplanetas) y una corona interna. Para hallar su relación se mira el movimiento relativo al portaplanetas, donde todo es un tren ordinario. Es la ecuación de Willis:

\frac{ω _{s} - ω _{c}}{ω _{r} - ω _{c}} = - \frac{Z _{r}}{Z _{s}} ⟹ con la corona fija: i = \frac{ω _{s}}{ω _{c}} = 1 + \frac{Z _{r}}{Z _{s}}

La geometría exige $Z_{r} = Z_{s} + 2 Z_{p}$ .
Para montar $N$ planetas igualmente espaciados, $(Z_{s} + Z_{r}) / N$ debe ser entero.
Fijando otro elemento (el sol o el portaplanetas) se obtienen otras relaciones con los mismos engranes: así cambian de marcha las cajas automáticas.

Planetario del ejemplo 3: sol de 24, tres planetas de 24 y corona de 72 dientes.

Sinfín y corona

Un sinfín de $z_{1}$ entradas que mueve una corona de $z_{2}$ dientes da $i = z_{2} / z_{1}$ : con un sinfín de 2 entradas y 50 dientes, 25:1 en una sola etapa. Su ángulo de avance $λ$ ( $tan λ = z_{1} / q$ , con $q$ = diámetro del sinfín entre el módulo) decide la eficiencia, porque los dientes deslizan mucho:

η = \frac{cos ϕ _{n} - μ tan λ}{cos ϕ _{n} + μ cot λ}

Si la corona intenta mover al sinfín, la eficiencia inversa es $(cos ϕ_{n} - μ cot λ) / (cos ϕ_{n} + μ tan λ)$ . Cuando sale cero o negativa, el reductor es autobloqueante: la carga no puede hacerlo girar al revés, lo que sirve en elevadores y tornos de mano.

Errores frecuentes

Engranar dos ruedas de distinto módulo o ángulo de presión.
Contar el engrane loco en la relación (solo cambia el sentido).
Usar el diámetro exterior en lugar del primitivo para $W_{t} = 2 T / d$ o para la relación.
En un planetario, aplicar $z_{2} / z_{1}$ directamente sin pasar al movimiento relativo al portaplanetas.
Olvidar la eficiencia en los trenes de muchas etapas o en el sinfín, donde puede ser del 50 al 90 %.

Ejemplos resueltos

Los cuatro ejemplos son trenes del menú de la herramienta, con un motor de 5 kW a 1750 rpm (el sinfín, 2.2 kW a 1450 rpm), acero 4140 y dientes de 20°.

Ejemplo 1Reductor de dos etapas

Etapa 1: piñón de 18 y rueda de 54 dientes,

m = 3

mm, ancho 30 mm. Etapa 2: 16 y 64 dientes,

m = 4

mm. Halla la relación total, la velocidad y el par de salida (con 98 % por etapa) y, para la etapa 1, la geometría, las fuerzas y el esfuerzo de Lewis en el piñón.

Solución

Relación: $i = \frac{54}{18} \cdot \frac{64}{16} = 3 \cdot 4 = 12$ ; $n_{sal} = 1750/12 = 145.8$ rpm, en el mismo sentido que la entrada (dos engranes externos).
Par de entrada $T_{1} = 9549 \cdot 5/1750 = 27.28$ N·m; salida $T = 27.28 \cdot 12 \cdot 0.9 8^{2} = 314.4$ N·m.
Geometría de la etapa 1: $d_{1} = 54$ , $d_{2} = 162$ mm, $a = 108$ mm, $d_{a} = 60$ y 168, $d_{b} = 50.74$ y 152.2 mm; razón de contacto 1.649.
Fuerzas: $W_{t} = 2 \cdot 27.28/0.054 = 1011$ N y $W_{r} = 1011 tan 20° = 367.8$ N.
Lewis: $V = π \cdot 0.054 \cdot 1750/60 = 4.948$ m/s, $K_{v} = (6.1 + 4.948) /6.1 = 1.811$ , $Y (18) = 0.309$ : $σ = \frac{1.811 \cdot 1011}{30 \cdot 3 \cdot 0.309} = 65.8$ MPa.

i = 12

, 145.8 rpm y 314.4 N·m; etapa 1:

a = 108

mm,

W_{t} = 1011

W_{r} = 367.8

N y

σ = 65.8

MPa en el piñón.

Resuélvelo en Simuveliq

En Ingeniería → Engranajes, en el panel de ejemplos, «Cargar tren» → Reductor de dos etapas (rectos).
Las tarjetas dan Relación total 12 : 1, Salida 145.8 rpm, Par de salida 314.4 N·m y Eficiencia total 96 %. La tabla Ejes muestra el eje intermedio a 583.3 rpm girando al revés.
Con la etapa 1 elegida, las tablas Geometría, Fuerzas en el engrane y Resistencia (Lewis y Hertz) dan los valores de arriba, y el «Paso a paso» los deduce.

Abrir en el simulador →

Ejemplo 2Tren con engrane loco

Un piñón de 20 dientes mueve un engrane de 30, que a su vez mueve uno de 40. Halla la relación total y el sentido de la salida.

Solución

Relación: $\frac{30}{20} \cdot \frac{40}{30} = \frac{40}{20} = 2$ : el engrane de 30 se cancela.
Dos engranes externos: el sentido se invierte dos veces, así que la salida gira como la entrada. Sin el loco giraría al revés.
$n_{sal} = 1750/2 = 875$ rpm; el eje del loco gira a $1750 \cdot 20/30 = 1166.7$ rpm en sentido contrario.

i = 2

, 875 rpm en el mismo sentido que la entrada.

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar tren» → Tren con engrane loco: Relación total 2 : 1, «mismo sentido que la entrada», y la tabla Ejes con el intermedio a 1166.7 rpm (↻).

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Ejemplo 3Planetario con la corona fija

Un planetario tiene sol de 24 dientes, corona de 72 y tres planetas. El sol es la entrada (1750 rpm) y la corona está fija. Halla los dientes de los planetas, la velocidad del portaplanetas y comprueba que se pueden montar los tres.

Solución

Planetas: $Z_{p} = (72 - 24) /2 = 24$ dientes.
Willis con $ω_{r} = 0$ : $\frac{1750 - ω _{c}}{0 - ω _{c}} = - \frac{72}{24} = - 3 \Rightarrow ω_{c} = 437.5$ rpm, en el mismo sentido que el sol: $i = 1 + 72/24 = 4$ .
Montaje: $(24 + 72) /3 = 32$ , entero: caben tres planetas a 120°.
Cada planeta gira sobre su propio eje a $ω_{p} = ω_{c} (1 - Z_{r} / Z_{p}) = 437.5 \cdot (1 - 3) = - 875$ rpm (al revés).

Z_{p} = 24

ω_{c} = 437.5

rpm (

i = 4

), planetas a −875 rpm; se pueden montar tres.

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar tren» → Planetario (corona fija). La tabla Geometría da los dientes 24 · 24 · 72, las velocidades «sol 1750 · corona 0 · portador 437.5» y el giro de cada planeta, −875 rpm; abajo, «✓ Se pueden montar 3 planetas».
El «Paso a paso» escribe la ecuación de Willis. Cambia qué elemento está fijo y mira cómo cambia la relación.

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Ejemplo 4Reductor de tornillo sinfín

Un sinfín de 2 entradas (

m = 5

mm,

q = 10

μ = 0.05

ϕ_{n} = 20°

) mueve una corona de 50 dientes a partir de 2.2 kW y 1450 rpm. Halla la relación, el ángulo de avance, las eficiencias directa e inversa y si es autobloqueante.

Solución

$i = 50/2 = 25$ : la corona gira a $1450/25 = 58$ rpm.
$tan λ = z_{1} / q = 2/10 \Rightarrow λ = 11.31°$ .
Directa: $η = \frac{0.9397 - 0.05 \cdot 0.2}{0.9397 + 0.05 \cdot 5} = \frac{0.9297}{1.1897} = 78.1 %$ . Inversa: $\frac{0.9397 - 0.05 \cdot 5}{0.9397 + 0.05 \cdot 0.2} = 72.6 %$ .
La inversa es positiva: no es autobloqueante. Haría falta $μ \geq cos ϕ_{n} tan λ = 0.188$ o un ángulo de avance menor (un sinfín de una entrada).
Par de salida: $T_{1} = 9549 \cdot 2.2/1450 = 14.49$ N·m y $T_{2} = 14.49 \cdot 25 \cdot 0.781 = 283$ N·m.

i = 25

(58 rpm),

λ = 11.31°

η = 78.1 %

directa y 72.6 % inversa: no es autobloqueante;

T_{2} \approx 283

N·m.

Resuélvelo en Simuveliq

«Cargar tren» → Reductor de tornillo sinfín: Relación total 25 : 1, Salida 58 rpm, Par de salida 283.1 N·m y Eficiencia total 78.1 %.
En Geometría: ángulo de avance 11.31° y eficiencia «78.1 % · 72.6 %»; abajo, el aviso «No es autobloqueante». Sube μ a 0.2 y verás que pasa a serlo.

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